Teorema do valor médio

RKA1JV - Olá, tudo bem? Neste vídeo, nós vamos conversar um pouco a respeito do teorema do valor médio. E, para gente conversar a respeito do teorema do valor médio, nós precisamos levar em consideração uma função e que essa função tem algumas particularidades. Por exemplo, nós vamos dizer que a nossa função "f" é contínua em um certo intervalo. A função "f" vai ser contínua em um certo intervalo, em um certo intervalo aqui que vai variar entre 2 pontos. E que esses dois pontos são os pontos "a" e "b". Quando eu coloco esses colchetes, eu estou dizendo que esse é um intervalo fechado. Ou seja, os pontos "a" e "b fazem parte desse intervalo. A nossa função precisa ser contínua em todo esse intervalo que vai desde "a" até o ponto "b". Lembrando que "a" e "b" fazem parte do intervalo. Além disso, essa função também precisa ser diferenciável nesse intervalo. Além de ser contínua, ela vai ter que ser diferenciável nesse intervalo também que vai de "a" até "b". Só que agora o nosso intervalo não precisa ser fechado, ou seja, os pontos "a" e "b" não precisam ser diferenciáveis. Mas todos os outros valores dentro desse intervalo precisam, então, nós temos aqui que essa função vai ser diferenciável nesse intervalo que vai de "a" até "b". Lembrando que, para uma função ser diferenciável, é necessário que a derivada da função seja definida dentro desse intervalo. Vamos plotar um gráfico aqui, só para a gente ter uma ideia do comportamento dessa função. Aqui nós vamos ter o nosso gráfico, aqui o nosso eixo "y" e aqui o nosso eixo "x". Aqui vai estar o nosso ponto em que o "x" é "a" e aqui o nosso ponto em que o nosso "x" é "b". Nós temos o nosso intervalo que vai de "a" até "b". Aqui a gente vai ter um determinado ponto em que esse ponto vai ter as coordenadas "a" e função de "a", ou seja, f(a). E aqui nós vamos ter um outro ponto em que esse ponto vai ter coordenadas "b", f(b). E, ao longo desse intervalo, a nossa função vai ter esse comportamento, então, essa aqui vai ser a nossa função y = f(x). O que o teorema do valor médio diz para a gente? O teorema do valor médio diz para a gente que a taxa de variação média dentro desse intervalo vai ser igual à taxa de variação instantânea dessa função em algum ponto desse intervalo. Analisando graficamente aqui, se a gente fosse traçar a taxa de variação média, bastaria apenas pegar a reta secante entre esses dois pontos "a" e "b". Assim, a gente teria essa reta secante entre esses dois pontos "a" e "b". A inclinação dessa reta secante indica para a gente a taxa de variação média dessa função ao longo desse intervalo "a" e "b". O teorema do valor médio vai dizer para a gente que, em algum ponto ao longo desse intervalo, a gente vai ter uma reta tangente que vai ter a mesma inclinação dessa reta secante. Por exemplo, se a gente pegar esse ponto aqui, nesse ponto, a gente vai ter uma reta tangente que tem a mesma inclinação dessa reta secante. Então a taxa de variação instantânea nesse ponto vai ser igual a essa taxa de variação média. O mesmo acontece se a gente pegar esse outro ponto aqui, nesse outro ponto, a gente também vai ter uma reta tangente aqui que tem uma inclinação igual à reta secante que liga os pontos "a" e "b". Nós já analisamos graficamente aqui o que o teorema do valor médio diz para a gente. Diz para a gente que, em algum ponto, nesse caso, serão dois pontos, a gente vai ter uma reta tangente que vai ter a mesma inclinação que a reta secante que liga os dois pontos aqui desse intervalo. Vamos dizer que esse ponto seja um ponto "c", ponto "c" em que a inclinação da reta tangente que passa por esse ponto vai ter a mesma inclinação da reta secante que liga os pontos "a" e "b". Sabendo disso, nós podemos dizer que o teorema do valor médio diz para a gente que, quando a gente tem uma função contínua em um certo intervalo, e que nesse intervalo essa função é diferenciável, vai existir, ou seja, existe um valor "c" em que esse valor "c" pertence a esse intervalo "a" e "b". Lembrando que, nesse caso, o "c" não pode ser "a" e nem pode ser "b", tudo bem? O "c" você vai pertencer a esse intervalo que vai desde o "a" até o "b", mas é o intervalo aberto. Então o "a" e o "b" não fazem parte desse intervalo. Isso significa que o "c" é maior que "a" e menor que "b". Pode ser qualquer valor dentro desse intervalo, desde que o valor seja maior que "a" e que seja menor que "b". Tal que taxa de variação média entre esses dois pontos, como a gente vai representar essa taxa de variação média entre esses dois pontos? A gente sabe que a taxa de variação média, nesse caso, vai ser a variação do eixo "y". Então, a gente pode colocar aqui um Δy sobre a variação no eixo "x". E qual seria a variação no eixo "y" e qual seria a variação no eixo "x"? Para a gente encontrar a variação no eixo "y", basta a gente saber o quanto foi alterado aqui no eixo "y" desde f(a) até f(b). A gente poderia traçar, por exemplo, essa reta, partindo aqui, desde o ponto f(a) até o ponto f(b). O Δy seria, na verdade, aqui f(b), f(b) menos f(a). Essa seria a variação no eixo "y", Δy. Isso tudo aqui dividido pela variação no eixo "x", a variação no eixo "x" é o quanto que vai ser alterado desde o ponto "a" até o ponto "b". Desde a coordenada "a" até a coordenada "b". Nosso Δx aqui vai ser o "b" menos "a", dessa forma, a gente vai ter Δy sobre Δx. E isso aqui vai indicar para a gente a taxa de variação média desde o ponto a, f(a), até o ponto "b", f(b). Isso aqui vai ser igual, então, a quê? O teorema do valor médio diz para a gente que essa taxa de variação média vai ser igual à taxa de variação instantânea da função nesse ponto "c'. Para a gente determinar a taxa de variação instantânea de uma função em determinado ponto, basta calcular a derivada dessa função nesse ponto. E, nesse caso, vai ser a derivada da função "f', calculada nesse ponto "c". Então é isso aqui que o teorema do valor médio diz para a gente. Que a taxa de variação média de uma função dentro de um certo intervalo, que vai de "a" até "b", desde que essa função seja contínua nesse intervalo, e diferenciável nesse intervalo, vai ser igual à taxa de variação instantânea dessa função calculada nesse ponto "c". Ou seja, a taxa de variação instantânea calculada em um certo ponto, vai ser igual à taxa de variação média ao longo de todo o intervalo. E é isso que o teorema do valor médio diz para a gente.