If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Se você está atrás de um filtro da Web, certifique-se que os domínios *.kastatic.org e *.kasandbox.org estão desbloqueados.

Conteúdo principal

Problema de otimização: reta normal extrema a y=x²

Um problema difícil, mas interessante, de derivada. Versão original criada por Sal Khan.

Quer participar da conversa?

Você entende inglês? Clique aqui para ver mais debates na versão em inglês do site da Khan Academy.

Transcrição de vídeo

a curva na figura é uma parábola y igual à x ao quadrado então ele está se referindo a essa curva y igual à x o quadrado defina uma normal como uma linha cuja primeira intersecção do quadrante com a parábola é perpendicular para ampla ela está falando que nesse quadrante ele tem que ser é penico lar parambu cinco figuras normais são mostrado na figura então temos aqui uma duas três quatro cinco com variação de x a coordenadora x da intersecção com segundo quadrante aqui nós temos o segundo quadrante da normal fica tão pequena quanto possível então ele está falando dessa que fica tão pequena quanto possível anormal extrema é mostrada em [ __ ] exatamente essa normal em [ __ ] ele está chamando normal extrema uma vez que as normais passam da normal extrema ou seja essas outras duas aqui elas começam a aumentar novamente ou seja elas começam a aumentar em modo elas ficam cada vez mais negativas elas diminuem valor negativo mas aumentam e módulo a figura mostra dois pares de normais as duas normais do parque a mesma intersecção do segundo quadrante com a parábola mas uma está acima da normal extrema no primeiro quadrante e outro está baixo então ok dois pares este aqui corta aqui e vai esse exatamente intersecção com esse daqui que também forma um ângulo de 90 gramas e é essa daqui corta aqui e forma um ângulo de 90 graus encontra a equação da normal extrema ou seja ele quer a equação dessa reta normal extrema então vamos partir do que nós sabemos o que nós sabemos nós sabemos que a equação da nossa parábola y é igual à x ao quadrado nós sabemos também que ao derivar mos em um determinado ponto vamos encontrar à tangente nesse ponto ou seja y linha que é igual a 2 x 1 para um determinado ponto vamos chamar o ponto aqui de x 0 para um determinado ponto e sef de x 0 vai ser igual a 2 x 0 ou seja essa vai ser a inclinação da nossa reta nesse ponto ora como é que nós calculamos a inclinação da reta normal à tangente nós sabemos que a inclinação de uma reta vezes a inclinação da outra são padco lares quando elas multiplicada sul -1 portanto se nós temos a inclinação da reta como 2 x 0 e queremos a inclinação da reta normal a nossa reta normal vai ter inclinação de -1 sobre 2 x 0 portanto já sabemos qual é a inclinação da nossa reta em um determinado ponto x 0 como é que podemos prosseguir um problema ora ele vai ter as coordenadas x 0 eo y vai ser igual à x 0 quadrado essa vai ser às coordenadas desse ponto x 0 que nós escolhemos qual a equação da nossa reta a equação da nossa reta é y - x 0 quadrado que seria nosso y10 vai ser igual a a inclinação ou seja menos 1 sobre 2 x 0 vezes x - x 0 é essa é a nossa é com a ação da reta num determinado ponto x 0 sabemos que espantou a nossa inclinação que estamos chamando de m2 o que seria nosso b vamos então desenvolver essa equação da nossa reta vamos abrir se parentes e passar x 0 quadrado - x é um quadrado por lá então nós vamos ter um y é igual a 1 sobre 2 x 0 - 1 sobre 2 x 0 que a nossa inclinação vezes o x - um sobre 2 x 0 vez x 0 vai dar mais um sobre dois mais passando - x 0 quadrado para cá vão ficar com mais x 0 quadrado portanto essa é a nossa inclinação quem está chamando de m2 e este aqui é o nosso b mas o que mais nós sabemos nós sabemos que esta reta que foi definida como uma reta que é perpendicular parábola vai cortar parábola em dois pontos ou seja ela tem que ter esse valor e tem que ter o valor e y igual à x ao quadrado que é a equação da parábola esta equação da parábola e esta é a equação da nossa reta então podemos fazer x ao quadrado é igual a menos 1 sobre 2 x 0 vezes x mais vamos colocar aqui tudo entre parentes 1 sobre dois mais x 0 ao quadrado e transparentes então vamos passar tudo para o lado esquerdo nós temos x ao quadrado aqui vamos ter mais um sobre 2 x 0 - 1 sobre dois mais x 0 quadrado isso tudo igual a zero vamos resolver essa equação de segundo grau uma solução vai ter que ser os nossos fizeram que escolhemos e outro vai ser o que está no segundo quadrante que queremos saber e minimizar então nós temos x 12 igual a menos b - um sobre 2 x 0 mais ou menos raiz quadrada de b2b 2 vai ficar 1 sobre 4 x 0 quadrado menos quatro aceita ficar com mais quatro vezes aqui é um vezes um meio mais x 0 o quadrado isso tudo sobre dos bem vamos colocar esse dois aqui pra dentro vamos fazer da seguinte forma temos aqui x 12 ac - um meio x 0 / 2 vamos ter menos um quarto de x 0 mais ou menos um meio da raiz quadrada de um sobre 4 x 0 quadrado mais quatro vezes um meio da 2a + 4 x 0 o quadrado desenvolvendo mais nós temos x 12 igual a menos 1 sobre 4 x 0 mais ou menos um meio de que vamos pegar colocar alguma coisa em evidência vamos ver o que a gente coloca em evidência para ficar um quadrado perfeito o ideal seria a gente colocar quatro sobre x 0 ao quadrado senão vejamos quando você pega 4 x 0 quadrado / 4 sobis fizeram quadrado você vai ficar com 1 x 0 a quarta quando você pega 2 / 4 x 0 ao quadrado você vai ficar com um meio de x 0 ao quadrado e quando você pega um sobre 4 x 0 quadrado / 4 sobre x é o quadrado você vai ficar com mais um sobre 16 parece meio cabuloso aqui mas se você abrir se para você ver que vai dar o que está aqui em cima só que aqui vai dar um quadrado perfeito então vamos ficar com um x 12 igual a menos 11 sobre 4 x 0 mais ou menos um meio de a que raio de quatro vai dar 2 x 0 vezes aqui era a mesma coisa que nós escrevemos x 0 ao quadrado mais um quarto ao quadrado o quadrado do primeiro x 0 quadrado da x a quarta mais duas vezes o primeiro pelo segundo vai dar um meio de x 0 quadrado mais o quadrado do segundo que dá um sobre 16 muito bem tirando a raiz quadrada vamos ficar com x 0 ao quadrado mais um quarto e agora vamos abrir os parentes nós podemos já simplificar esse dois com este dois aqui e nós temos x 12 igual a menos 1 sobre 4 x 0 mais ou menos uns 10 vezes x 0 quadrado vamos ter x 0 e 1 sobre se josé 0 vezes um sobre quatro vamos ter mais um sobre 4 x 0 e agora vamos ter duas soluções uma com o mais e outra com menos a com mais é o que nós esperamos ora nós temos - um sobre 4 x 0 mais x 0 - desculpa mais um sobre 4 x 0 ora um sobre 4 x 0 - 1 com 5 4 x 0 vai dar exatamente x 0 e era de se esperar que achássemos x 0 como uma das soluções já que partimos dela agora qual é a solução do segundo quadrante a solução do segundo quadrante o x do segundo quadrante vai ser igual aqui é igual a menos um quarto - x 0 - um quarto de x 0 então vamos ficar - um sobre 2 x 0 - 1 x 0 agora sim queremos que isso aqui seja o mínimo se queremos que seja o mínimo que teremos que derivar o x do segundo quadrante em relação à x 0 e igual a zero a derivada de - x era mais fácil menos um ea derivada de -1 sobre 2 x 0 é - um sobre 2 vezes - um vezes x 0 é levado a -2 e devemos igual a essa que a 0 pra ver qual o mínimo portanto ficamos com menos um - com menos dá mais dá mais um sobre 2 x 0 ao quadrado deve ser igual a zero então temos que um sobre 2 x 0 quadrado tem que ser igual a 1 ou seja 2 x 0 quadrado deve ser igual a 1 x 0 ao quadrado deve ser igual a um meio x 0 fica sendo um sobre a raiz de 2 então como é que fica a nossa equação da nossa reta basta jogar agora o nosso x 0 que descobriu aqui nós ficamos com y é e - isso aqui é quadrado vai ficar um meio é igual a menos 1 sobre 2 x era um show mais de dois então nós dois vai pra cima vezes x - x 0 ou seja x - um sobre mais de 2 e agora é só abrir aqui nós temos menos raios de 2 sobre 2 vezes um sobrinho de dois vamos ter mais meio então vamos ficar com mais meio e temos menos raiz de 2 sobre 2 vezes x e isso é igual a y - o meio o baixaki um pouco pagar mais espaço então nós temos menos um meio passa pra cá sua mãe vai ficar mais um então a equação da nossa reta fica y é igual a menos raios de 2 sobre 2 vezes x mais um essa é a equação da nossa reta que ele está chamando da normal extrema ou seja esta reta que está em [ __ ] então revisando o que nós fizemos nós sabemos que a equação da parábola é igual à x um quadrado de levamos ela e achamos a inclinação num determinado ponto x 0 a partir daí nós sabemos que nesse ponto x 0 ele vai ter as coordenadas x 0 e x 0 ao quadrado essas coordenadas dele porque x e aqui é y que é x ao quadrado que no caso aqui e 70 quadrado e aqui nós podemos fazer com essa nossa reta y - x 0 quadrado o que a nossa segunda coordenador x 0 quadrado é igual a inclinação na época como é que a gente obteve ora nós sabemos que a inclinação nesse determinado ponto x 0 é 2 x 0 porque nós de líder e vamos e venhamos a inclinação daquele ponto então a inclinação da nossa reta normal vai ser igual a menos 1 sobre 2 x 0 então colocamos a inclinação aqui e vez x - x 0 pronto essa equação nosso reta depois o que nós fizemos nós ajeitamos de replicamos clara a indignação coeficiente angular e o coeficiente linear e obviamente essa equação da reta tem que igualar a equação da parábola e vai igualar em 2 pontos nós achamos um ponto que foi x 0 e outro ponto que foi no segundo quadrante é essa do segundo quadrante quente quer minimizar portanto essa do segundo quadrante minimizando como é que a gente faz a gente pode pegar de elevada e igual a zero ao igualar a 0 nós achamos qual é o x 0 que torna essa reta normal sendo a reta extrema e obviamente substituímos na equação da reta normal e aí você tem a equação da reta final que ele chama de normal extrema como nós queremos