Problema de otimização: reta normal extrema a y=x²

RKA8JV - A curva na figura é uma parábola y = x². Então, ele está se referindo a esta curva "y = x²". Defina uma normal como uma linha cuja primeira intersecção do quadrante com a parábola é perpendicular à parábola. Ele está falando que neste quadrante, ele tem que ser perpendicular à parábola. Cinco figuras normais são mostradas na figura. Então, temos aqui, 1, 2, 3, 4, 5. Com a variação de "x", a coordenada "x" da intersecção com o segundo quadrante, aqui nós temos o segundo quadrante, da normal, fica tão pequena quanto possível. Então ele está falando dessa que fica tão pequena quanto possível. A normal extrema é mostrada em negrito. Exatamente essa normal em negrito, e ele está chamando de normal extrema. Uma vez que as normais passam da normal extrema, ou seja, essas outras duas aqui começam a aumentar novamente, ou seja, elas começam a aumentar em módulo, elas ficam cada vez mais negativas, elas diminuem em valor negativo, mas aumentam em módulo. A figura mostra dois pares de normais, as duas normais do par têm a mesma intersecção do segundo quadrante com a parábola, mas uma está acima da normal extrema no primeiro quadrante e outro está abaixo. Então, dois pares. Este aqui corta aqui e vai ser exatamente a intersecção com este aqui, que também forma um ângulo de 90 graus, e essa aqui corta aqui e forma um ângulo de 90 graus. Encontre a equação da normal extrema. Ou seja, ele quer a equação desta reta normal extrema. Então, vamos partir do que nós sabemos. O que nós sabemos? Nós sabemos que a equação da nossa parábola é "y = x²". Nós sabemos também que, ao derivarmos em um determinado ponto, vamos encontrar a tangente nesse ponto, ou seja, y', que é igual a 2x. Para um determinado ponto, vamos chamar um ponto aqui de x₀, para um determinado ponto, esse de f(x₀) vai ser igual a 2x₀. Ou seja, essa vai ser a inclinação da nossa reta nesse ponto. Ora, como é que nós calculamos a inclinação da reta normal à tangente? Nós sabemos que a inclinação de uma reta vezes a inclinação da outra são perpendiculares quando elas, multiplicadas, dão -1. Portanto, se nós temos a inclinação da reta como 2x₀ e queremos a inclinação da reta normal, a nossa reta normal vai ter inclinação de -1/2x₀. Portanto, já sabemos qual é a inclinação da nossa reta em um determinado ponto x₀. Como é que podemos prosseguir com o problema? Ora, ele vai ter as coordenadas x₀ e o "y" vai ser igual a x₀². Essas vão ser as coordenadas desse ponto x₀ que nós escolhemos. Qual é a equação da nossa reta? A equação da nossa reta é "y - x₀²", que seria nosso y₀, vai ser igual à inclinação, ou seja, -1/2x₀ vezes (x - x₀). Essa é a nossa equação da reta em um determinado ponto x₀. Sabemos que este fator é a nossa inclinação, que estamos chamando de m₂. O que seria nosso ''b"? Vamos, então, desenvolver essa equação da nossa reta. Vamos abrir este parênteses e passar -x₀² para o lado de lá. Então, nós vamos ter: y = -1/2x₀, que é a nossa inclinação, vezes o "x", menos 1/2x₀ vezes x₀ vai dar mais 1/2, mais, passando o -x₀² para cá, vamos ficar com mais x₀². Portanto, esta é a nossa inclinação, que a gente está chamando de m₂, e este aqui é o nosso "b". Mas o que mais nós sabemos? Nós sabemos que esta reta, que foi definida como uma reta que é perpendicular à parábola, vai cortar parábola em dois pontos, ou seja, ela tem que ter este valor e tem que ter o valor "y = x²", que é a equação da parábola. Esta é a equação da parábola e esta é a equação da nossa reta. Então, podemos fazer x² = -1/2x₀ vezes "x" mais, vamos colocar aqui tudo entre parênteses, (1/2 + x₀²) e fecha o parênteses. Então vamos passar tudo para o lado esquerdo. Nós temos x², aqui vamos ter mais 1/2x₀ menos (1/2 + x₀²), isso tudo igual a zero. Vamos resolver essa equação do segundo grau. Uma solução vai ter que ser o nosso x₀, que escolhemos, e o outro vai ser o que está no segundo quadrante que queremos saber e minimizar. Então nós temos x₁,₂ = -b - 1/2x₀ ± √b₂, b₂ vai ficar 1/4x₀². -4ac vai ficar com mais 4 vezes, "a", que é 1, vezes 1/2 + x₀², isso tudo sobre 2. Bem, vamos colocar este 2 aqui para dentro. Vamos fazer da seguinte forma, temos aqui x₁,₂, aqui, -1/2x₀/2, vamos ter -1/4x₀, ± 1/2 da raiz quadrada de 1/4x₀² + 4 vezes 1/2, dá 2, mais 4x₀². Desenvolvendo mais, nós temos: x₁,₂ = -1/4x₀ ± 1/2, de quê? Vamos pegar e colocar alguma coisa em evidência. Vamos ver o que a gente coloca em evidência para ficar um quadrado perfeito. O ideal seria a gente colocar 4/x₀². Senão, vejamos. Quando você pega 4x₀² dividido por 4/x₀², você vai ficar com x₀⁴. Quando você pega 2/4x₀², você vai ficar com 1/2x₀². E quando você pega 1/4x₀² dividido por 4/x₀², você vai ficar com +1/16. Parece meio cabuloso isso aqui, mas se você abrir esse parênteses, você vai ver que vai dar o que está aqui em cima. Só que aqui vai dar um quadrado perfeito, então, vamos ficar com x₁,₂ = -1/4x₀ ± 1/2 de aqui, √4 vai dar 2x₀, vezes, aqui era a mesma coisa de nós escrevermos (x₀² + 1/4)². O quadrado do primeiro, x₀² dá x⁴, mais 2 vezes o primeiro pelo segundo, vai dar 1/2x₀², mais, o quadrado do segundo que dá 1/16. Muito bem, tirando a raiz quadrada, vamos ficar com x₀² + 1/4. E agora, vamos abrir esse parênteses. Nós podemos já simplificar esse 2 com este 2 aqui, e nós temos x₁,₂ = -1/4x₀ ± 1/x₀ vezes x₀², vamos ter x₀. E 1/x₀ vezes 1/4 vamos ter +1/4x₀. E agora vamos ter duas soluções. Uma com o "+" e outra com o "-". A com "+" é o que nós esperamos. Ora, nós temos -1/4x₀ + x₀ menos, desculpa, mais 1/4x₀. Ora, 1/4x₀ - 1/4x₀ vai dar exatamente x₀, e era de se esperar que achássemos x₀ como uma das soluções já que partimos dela. Agora, qual é a solução do segundo quadrante? A solução do segundo quadrante, o "x" do segundo quadrante vai ser igual a quê? Vai ser igual a -1/4 - x₀ - 1/4 de x₀. Então vai ficar -1/2x₀ menos x₀. Agora sim queremos que isso aqui seja o mínimo. Se queremos que seja o mínimo, teremos que derivar o "x" do segundo quadrante em relação a x₀ e igualar a zero. A derivada de -x₀ é mais fácil, é -1, e a derivada de -1/2x₀ é -1/2 vezes -1 vezes x₀⁻². E devemos igualar isso que a zero para ver qual o mínimo. Portanto, ficamos com -1, menos com menos dá mais, + 1/2x₀², deve ser igual a zero. Então, temos que 1/2x₀² tem que ser igual a 1, ou seja, 2x₀² deve ser igual a 1, x₀² deve ser igual a 1/2, x₀ fica sendo 1/√2. Então, como é que fica a equação da nossa reta? Basta jogar agora o nosso x₀ que descobrimos aqui. Nós ficamos com "y" menos, isso aqui ao quadrado vai ficar 1/2, é igual a -1/2x, x₀ é 1/√2, então, √2 vai para cima, vezes "x - x₀", ou seja, "x - 1/√2". E agora é só abrir aqui. Nós temos -√2/2, vezes 1/√2, vamos ter +1/2, então vamos ficar com +1/2, e temos -√2/2 vezes "x". Isso é igual a "y - 1/2". Vamos baixar aqui um pouco, pegar mais espaço. Então nós temos -1/2, passa para cá somando, vai ficar +1. Então, a equação da nossa reta fica y = -√2/2 vezes "x" + 1. Esta é a equação da nossa reta que ele está chamando da normal extrema, ou seja, esta reta que está em negrito. Então, revisando, o que nós fizemos? Nós sabemos que a equação da parábola é "y = x²", a derivamos e achamos a inclinação em um determinado ponto x₀. A partir daí, nós sabemos que neste ponto x₀ vai ter as coordenadas (x₀, x₀²) Essas vão ser as coordenadas dele, porque é "x" e aqui é "y", que é x², que no caso aqui é x₀². E aqui nós podemos fazer a equação da nossa reta. "y - x₀²", porque a nossa segunda coordenada é x₀², é igual a, a inclinação na reta, como é que a gente obteve? Ora, nós sabemos que a inclinação nesse determinado ponto x₀ é 2x₀, porque nós derivamos e vimos a inclinação naquele ponto. Então, a inclinação da nossa reta normal vai ser igual a -1/2x₀, então, colocamos a inclinação aqui, e vezes "x" menos "x₀". Pronto, esta é a equação da nossa reta. Depois, o que nós fizemos? Nós ajeitamos, verificamos qual era a inclinação, coeficiente angular, e o coeficiente linear. E obviamente, esta equação da reta tem que igualar à equação da parábola. Vai igualar em 2 pontos. Nós achamos um ponto, que foi x₀, e o outro ponto que foi no segundo quadrante. Esta do segundo quadrante é que a gente quer minimizar. Portanto, esta do segundo quadrante, minimizando, como é que a gente faz? A gente pode pegar a derivada e igualar a zero. Ao igualar a zero, nós achamos qual é o x₀ que torna essa reta normal sendo a reta extrema. E obviamente, substituímos na equação da reta normal, e aí você tem a equação da reta final, que ele chama de normal extrema, como nós queremos.