Problema de otimização: reta normal extrema a y=x²

a curva na figura é uma parábola y igual à x ao quadrado então ele está se referindo a essa curva y igual à x o quadrado defina uma normal como uma linha cuja primeira intersecção do quadrante com a parábola é perpendicular para ampla ela está falando que nesse quadrante ele tem que ser é penico lar parambu cinco figuras normais são mostrado na figura então temos aqui uma duas três quatro cinco com variação de x a coordenadora x da intersecção com segundo quadrante aqui nós temos o segundo quadrante da normal fica tão pequena quanto possível então ele está falando dessa que fica tão pequena quanto possível anormal extrema é mostrada em [ __ ] exatamente essa normal em [ __ ] ele está chamando normal extrema uma vez que as normais passam da normal extrema ou seja essas outras duas aqui elas começam a aumentar novamente ou seja elas começam a aumentar em modo elas ficam cada vez mais negativas elas diminuem valor negativo mas aumentam e módulo a figura mostra dois pares de normais as duas normais do parque a mesma intersecção do segundo quadrante com a parábola mas uma está acima da normal extrema no primeiro quadrante e outro está baixo então ok dois pares este aqui corta aqui e vai esse exatamente intersecção com esse daqui que também forma um ângulo de 90 gramas e é essa daqui corta aqui e forma um ângulo de 90 graus encontra a equação da normal extrema ou seja ele quer a equação dessa reta normal extrema então vamos partir do que nós sabemos o que nós sabemos nós sabemos que a equação da nossa parábola y é igual à x ao quadrado nós sabemos também que ao derivar mos em um determinado ponto vamos encontrar à tangente nesse ponto ou seja y linha que é igual a 2 x 1 para um determinado ponto vamos chamar o ponto aqui de x 0 para um determinado ponto e sef de x 0 vai ser igual a 2 x 0 ou seja essa vai ser a inclinação da nossa reta nesse ponto ora como é que nós calculamos a inclinação da reta normal à tangente nós sabemos que a inclinação de uma reta vezes a inclinação da outra são padco lares quando elas multiplicada sul -1 portanto se nós temos a inclinação da reta como 2 x 0 e queremos a inclinação da reta normal a nossa reta normal vai ter inclinação de -1 sobre 2 x 0 portanto já sabemos qual é a inclinação da nossa reta em um determinado ponto x 0 como é que podemos prosseguir um problema ora ele vai ter as coordenadas x 0 eo y vai ser igual à x 0 quadrado essa vai ser às coordenadas desse ponto x 0 que nós escolhemos qual a equação da nossa reta a equação da nossa reta é y - x 0 quadrado que seria nosso y10 vai ser igual a a inclinação ou seja menos 1 sobre 2 x 0 vezes x - x 0 é essa é a nossa é com a ação da reta num determinado ponto x 0 sabemos que espantou a nossa inclinação que estamos chamando de m2 o que seria nosso b vamos então desenvolver essa equação da nossa reta vamos abrir se parentes e passar x 0 quadrado - x é um quadrado por lá então nós vamos ter um y é igual a 1 sobre 2 x 0 - 1 sobre 2 x 0 que a nossa inclinação vezes o x - um sobre 2 x 0 vez x 0 vai dar mais um sobre dois mais passando - x 0 quadrado para cá vão ficar com mais x 0 quadrado portanto essa é a nossa inclinação quem está chamando de m2 e este aqui é o nosso b mas o que mais nós sabemos nós sabemos que esta reta que foi definida como uma reta que é perpendicular parábola vai cortar parábola em dois pontos ou seja ela tem que ter esse valor e tem que ter o valor e y igual à x ao quadrado que é a equação da parábola esta equação da parábola e esta é a equação da nossa reta então podemos fazer x ao quadrado é igual a menos 1 sobre 2 x 0 vezes x mais vamos colocar aqui tudo entre parentes 1 sobre dois mais x 0 ao quadrado e transparentes então vamos passar tudo para o lado esquerdo nós temos x ao quadrado aqui vamos ter mais um sobre 2 x 0 - 1 sobre dois mais x 0 quadrado isso tudo igual a zero vamos resolver essa equação de segundo grau uma solução vai ter que ser os nossos fizeram que escolhemos e outro vai ser o que está no segundo quadrante que queremos saber e minimizar então nós temos x 12 igual a menos b - um sobre 2 x 0 mais ou menos raiz quadrada de b2b 2 vai ficar 1 sobre 4 x 0 quadrado menos quatro aceita ficar com mais quatro vezes aqui é um vezes um meio mais x 0 o quadrado isso tudo sobre dos bem vamos colocar esse dois aqui pra dentro vamos fazer da seguinte forma temos aqui x 12 ac - um meio x 0 / 2 vamos ter menos um quarto de x 0 mais ou menos um meio da raiz quadrada de um sobre 4 x 0 quadrado mais quatro vezes um meio da 2a + 4 x 0 o quadrado desenvolvendo mais nós temos x 12 igual a menos 1 sobre 4 x 0 mais ou menos um meio de que vamos pegar colocar alguma coisa em evidência vamos ver o que a gente coloca em evidência para ficar um quadrado perfeito o ideal seria a gente colocar quatro sobre x 0 ao quadrado senão vejamos quando você pega 4 x 0 quadrado / 4 sobis fizeram quadrado você vai ficar com 1 x 0 a quarta quando você pega 2 / 4 x 0 ao quadrado você vai ficar com um meio de x 0 ao quadrado e quando você pega um sobre 4 x 0 quadrado / 4 sobre x é o quadrado você vai ficar com mais um sobre 16 parece meio cabuloso aqui mas se você abrir se para você ver que vai dar o que está aqui em cima só que aqui vai dar um quadrado perfeito então vamos ficar com um x 12 igual a menos 11 sobre 4 x 0 mais ou menos um meio de a que raio de quatro vai dar 2 x 0 vezes aqui era a mesma coisa que nós escrevemos x 0 ao quadrado mais um quarto ao quadrado o quadrado do primeiro x 0 quadrado da x a quarta mais duas vezes o primeiro pelo segundo vai dar um meio de x 0 quadrado mais o quadrado do segundo que dá um sobre 16 muito bem tirando a raiz quadrada vamos ficar com x 0 ao quadrado mais um quarto e agora vamos abrir os parentes nós podemos já simplificar esse dois com este dois aqui e nós temos x 12 igual a menos 1 sobre 4 x 0 mais ou menos uns 10 vezes x 0 quadrado vamos ter x 0 e 1 sobre se josé 0 vezes um sobre quatro vamos ter mais um sobre 4 x 0 e agora vamos ter duas soluções uma com o mais e outra com menos a com mais é o que nós esperamos ora nós temos - um sobre 4 x 0 mais x 0 - desculpa mais um sobre 4 x 0 ora um sobre 4 x 0 - 1 com 5 4 x 0 vai dar exatamente x 0 e era de se esperar que achássemos x 0 como uma das soluções já que partimos dela agora qual é a solução do segundo quadrante a solução do segundo quadrante o x do segundo quadrante vai ser igual aqui é igual a menos um quarto - x 0 - um quarto de x 0 então vamos ficar - um sobre 2 x 0 - 1 x 0 agora sim queremos que isso aqui seja o mínimo se queremos que seja o mínimo que teremos que derivar o x do segundo quadrante em relação à x 0 e igual a zero a derivada de - x era mais fácil menos um ea derivada de -1 sobre 2 x 0 é - um sobre 2 vezes - um vezes x 0 é levado a -2 e devemos igual a essa que a 0 pra ver qual o mínimo portanto ficamos com menos um - com menos dá mais dá mais um sobre 2 x 0 ao quadrado deve ser igual a zero então temos que um sobre 2 x 0 quadrado tem que ser igual a 1 ou seja 2 x 0 quadrado deve ser igual a 1 x 0 ao quadrado deve ser igual a um meio x 0 fica sendo um sobre a raiz de 2 então como é que fica a nossa equação da nossa reta basta jogar agora o nosso x 0 que descobriu aqui nós ficamos com y é e - isso aqui é quadrado vai ficar um meio é igual a menos 1 sobre 2 x era um show mais de dois então nós dois vai pra cima vezes x - x 0 ou seja x - um sobre mais de 2 e agora é só abrir aqui nós temos menos raios de 2 sobre 2 vezes um sobrinho de dois vamos ter mais meio então vamos ficar com mais meio e temos menos raiz de 2 sobre 2 vezes x e isso é igual a y - o meio o baixaki um pouco pagar mais espaço então nós temos menos um meio passa pra cá sua mãe vai ficar mais um então a equação da nossa reta fica y é igual a menos raios de 2 sobre 2 vezes x mais um essa é a equação da nossa reta que ele está chamando da normal extrema ou seja esta reta que está em [ __ ] então revisando o que nós fizemos nós sabemos que a equação da parábola é igual à x um quadrado de levamos ela e achamos a inclinação num determinado ponto x 0 a partir daí nós sabemos que nesse ponto x 0 ele vai ter as coordenadas x 0 e x 0 ao quadrado essas coordenadas dele porque x e aqui é y que é x ao quadrado que no caso aqui e 70 quadrado e aqui nós podemos fazer com essa nossa reta y - x 0 quadrado o que a nossa segunda coordenador x 0 quadrado é igual a inclinação na época como é que a gente obteve ora nós sabemos que a inclinação nesse determinado ponto x 0 é 2 x 0 porque nós de líder e vamos e venhamos a inclinação daquele ponto então a inclinação da nossa reta normal vai ser igual a menos 1 sobre 2 x 0 então colocamos a inclinação aqui e vez x - x 0 pronto essa equação nosso reta depois o que nós fizemos nós ajeitamos de replicamos clara a indignação coeficiente angular e o coeficiente linear e obviamente essa equação da reta tem que igualar a equação da parábola e vai igualar em 2 pontos nós achamos um ponto que foi x 0 e outro ponto que foi no segundo quadrante é essa do segundo quadrante quente quer minimizar portanto essa do segundo quadrante minimizando como é que a gente faz a gente pode pegar de elevada e igual a zero ao igualar a 0 nós achamos qual é o x 0 que torna essa reta normal sendo a reta extrema e obviamente substituímos na equação da reta normal e aí você tem a equação da reta final que ele chama de normal extrema como nós queremos