Otimização: área de triângulos e quadrados (parte 2)

RKA8JV - No último vídeo, nós pegamos um fio e o cortamos em um ponto de uma forma em que um desses pedaços seria formado um triângulo e o outro pedaço seria formado um quadrado. Nós realizamos todo um processo geométrico para combinar a área destas duas figuras, e aí chegamos a esta expressão. A ideia aqui é tentar encontrar o ponto em que este fio seja cortado para que a gente consiga encontrar a maior área possível aqui. Eu falei no final do vídeo que, para atingir esse objetivo, a gente precisa pegar esta expressão aqui da área combinada e minimizar. Como que a gente pode fazer isso? Bem, para fazer isso a gente pode derivar esta função aqui, igualar esta derivada com zero, assim, a gente vai encontrar o ponto "x" em que faz a derivada desta função ser igual a zero, e aí conferir se esse ponto vai ser um ponto de mínimo, porque, caso esse seja um ponto de mínimo, significa que esse vai ser o ponto em que a gente vai encontrar máxima área combinada possível aqui para formar essas duas figuras. Então, vamos fazer isso, vamos derivar esta função. Mas antes de derivar, vamos deixar isso aqui um pouco melhor para a gente trabalhar, tudo bem? A gente vai dizer que a área combinada destas duas figuras em função de "x" é igual a √3 vezes x² sobre 4 vezes 3². 3² é 9, 4 vezes 9 = 36, então, isso sobre 36, tudo bem? Mais, a mesma coisa aqui, a gente tem (100 - x)², então vamos ter (100 - x)² sobre, 4² que é 16. Agora que a gente já deixou desta forma, a gente pode derivar esta função. A derivada da área combinada em relação a "x" vai ser igual a quanto? Derivando tudo isso aqui, a gente vai colocar o 2 aqui na frente e aí a gente vai ter 2/36, que é 1/18. Então, a gente vai ter √3 vezes "x" sobre 18, mais, para derivar esta parte, a gente precisa usar a regra da cadeia, certo? Então, inicialmente a gente vai derivar a função de fora, e derivando a função de fora a gente vai usar a regra da potência, jogando 2 aqui na frente. 2/16 = 1/8, então, a gente vai ter 100 - x¹, claro, porque a gente vai ter 2 - 1, sobre 8, isso vezes a derivada da função que está aqui dentro. Bem, a derivada de (100 - x) é igual a -1, então, tudo isso vezes -1. Ok, agora que a gente já derivou, a gente pode melhorar um pouco isso aqui, a visualização, porque aqui a gente vai ter √3/18 vezes "x", mais, aqui a gente pode aplicar a distributiva, certo? Então, vamos ter aqui "-x" vezes -1, que é "+x", então mais x/8. E aqui, 100 vezes -1 é -100, -100/8 = -12,5, então, a gente vai ter -12,5. Beleza, como o nosso objetivo é minimizar a função, a gente vai encontrar o valor em "x" que faz a derivada desta função ser igual a zero. Ok, somando com 12,5 dos dois lados da equação, a gente vai ter 12,5 do lado esquerdo e isso vai ser igual a quanto? A gente pode colocar o "x" em evidência, e aí a gente vai ter (√3/18) + 1/8, isso vezes "x". Para encontrar o valor de "x" agora basta dividir por esta expressão dos dois lados da igualdade. Assim, a gente vai ter que "x" é igual a 12,5 dividido por √3/18 mais, claro, 1/8. Beleza, praticamente já terminamos o problema, porque a gente já encontrou aqui o nosso ponto crítico, o ponto crítico em que faz esta derivada ser igual a zero. Lembrando que um ponto crítico são aqueles pontos em que a derivada é igual a zero ou aquele ponto em que a gente tenha uma indefinição. Neste caso aqui, a gente não vai ter nenhum ponto de indefinição, por isso que eu já peguei logo e igualei esta derivada aqui com o zero, porque é a única possibilidade em que a gente pode encontrar um ponto crítico. E esse ponto crítico que faz essa derivada ser igual a zero é o resultado desta expressão aqui. Mas eu ainda não posso dizer se este é um ponto de mínimo ou máximo. Para fazer isso, a gente precisa encontrar a segunda derivada e avaliar a segunda derivada no intervalo ao redor deste resultado aqui, ao redor deste ponto. Então vamos calcular a segunda derivada. A gente já sabe que a derivada desta função em relação a "x" é igual a √3/18 vezes "x" mais 1/8 vezes "x" menos 12,5. Derivando esta expressão, ou seja, encontrando a segunda derivada da área combinada, bem, a derivada de √3/18 vezes "x" é igual a √3/18, e a derivada de 1/8 vezes "x" é igual a 1/8. Então, a segunda derivada aqui tem este resultado. Notem que não tem uma dependência de "x", certo? Se não tem uma dependência de "x" e aqui a gente só tem valores positivos, esta segunda derivada sempre vai ser maior que zero, ou seja, vai ser sempre positiva. Se ela vai ser sempre positiva, ao longo de todo o intervalo, a gente vai encontrar uma derivada crescente. Assim, se a gente for avaliar aquele ponto ali que faz a derivada ser igual a zero, a gente vai ter algo mais ou menos desse jeito, em que aqui é o nosso ponto e aqui a gente vai encontrar no intervalo ao redor desse ponto uma função com a concavidade voltada para cima. Então ela é côncava para cima, já que desse lado a gente tem uma segunda derivada positiva e, deste lado, a gente também vai ter uma segunda derivada positiva. Assim, por mais que a derivada desse lado seja negativa, ela está se tornando cada vez mais positiva até chegar neste ponto em que a derivada é igual a zero, depois ela continua se tornando cada vez mais positiva. Sendo assim, como a gente tem uma função com a concavidade voltada para cima, este ponto é o ponto de mínimo. Pelo fato de ele ser o ponto de mínimo, a gente pode dizer que o resultado aqui desta expressão vai indicar para a gente a maior área combinada pelas duas figuras. Então, vamos resolver aqui esta expressão. Agora a gente já pode resolver, a gente pega aqui calculadora para resolver. Então, vamos ter 12,5 dividido, abro parênteses aqui, (√3/18 + 1/8). Isso vai ser igual a 56,5 aproximadamente. Então, nós vamos ter um resultado aproximadamente igual a 56,5 metros, que é a nossa unidade de medida. Então, o primeiro fio aqui em cima tem que ter um comprimento igual, aproximadamente igual, na verdade, a 56,5 m. E obviamente, o segundo fio tem que ter uma distância menor. 100 - 56,5 vai ser algo próximo a 43,5. Então, isto aqui vai ser igual a 43,5 m. Desta forma, nós vamos conseguir encontrar estas duas figuras em que a área combinada por estas duas figuras vai ter o maior valor possível.