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Cálculo diferencial
Curso: Cálculo diferencial > Unidade 5
Lição 11: Como resolver problemas de otimização- Otimização: soma de quadrados
- Otimização: volume de uma caixa (parte 1)
- Otimização: volume de uma caixa (parte 2)
- Otimização: lucro
- Otimização: custo de materiais
- Otimização: área de triângulos e quadrados (parte 1)
- Otimização: área de triângulos e quadrados (parte 2)
- Problema de otimização: reta normal extrema a y=x²
- Otimização
- Problemas sobre movimento: cálculo da aceleração máxima
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Otimização: área de triângulos e quadrados (parte 2)
Neste vídeo, construímos um triângulo equilátero e um quadrado cujas bases juntas têm 100 m, de forma que sua área seja a menor possível. Versão original criada por Sal Khan.
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- Em, a área não teria o MENOR valor possível, já que achamos o ponto de MÍNIMO? 8:00(4 votos)
- Isso mesmo, é a menor área. O professor falou errado.(1 voto)
Transcrição de vídeo
RKA8JV - No último vídeo,
nós pegamos um fio e o cortamos em um ponto de uma forma em que um desses pedaços
seria formado um triângulo e o outro pedaço seria
formado um quadrado. Nós realizamos todo um processo geométrico para combinar a área destas duas figuras, e aí chegamos a esta expressão. A ideia aqui é tentar encontrar o ponto em que este fio seja cortado para que a gente consiga encontrar
a maior área possível aqui. Eu falei no final do vídeo que,
para atingir esse objetivo, a gente precisa pegar
esta expressão aqui da área combinada e minimizar. Como que a gente pode fazer isso? Bem, para fazer isso a gente pode
derivar esta função aqui, igualar esta derivada com zero, assim, a gente vai encontrar o ponto "x" em que faz a derivada desta
função ser igual a zero, e aí conferir se esse ponto
vai ser um ponto de mínimo, porque, caso esse seja um ponto de mínimo, significa que esse vai ser o ponto em que a gente vai encontrar máxima
área combinada possível aqui para formar essas duas figuras. Então, vamos fazer isso,
vamos derivar esta função. Mas antes de derivar,
vamos deixar isso aqui um pouco melhor para
a gente trabalhar, tudo bem? A gente vai dizer que a área
combinada destas duas figuras em função de "x" é igual a √3 vezes x²
sobre 4 vezes 3². 3² é 9,
4 vezes 9 = 36, então, isso sobre 36, tudo bem? Mais, a mesma coisa aqui, a gente tem (100 - x)², então vamos ter (100 - x)² sobre, 4² que é 16. Agora que a gente já deixou desta forma, a gente pode derivar esta função. A derivada da área combinada
em relação a "x" vai ser igual a quanto? Derivando tudo isso aqui,
a gente vai colocar o 2 aqui na frente e aí a gente vai ter 2/36, que é 1/18. Então, a gente vai ter
√3 vezes "x" sobre 18, mais, para derivar esta parte, a gente precisa
usar a regra da cadeia, certo? Então, inicialmente a gente
vai derivar a função de fora, e derivando a função de fora a gente vai usar a regra da potência,
jogando 2 aqui na frente. 2/16 = 1/8, então, a gente vai ter
100 - x¹, claro, porque a gente vai ter
2 - 1, sobre 8, isso vezes a derivada da função
que está aqui dentro. Bem, a derivada de (100 - x)
é igual a -1, então, tudo isso vezes -1. Ok, agora que a gente já derivou,
a gente pode melhorar um pouco isso aqui, a visualização, porque aqui a gente vai ter
√3/18 vezes "x", mais, aqui a gente pode aplicar
a distributiva, certo? Então, vamos ter aqui "-x" vezes -1,
que é "+x", então mais x/8. E aqui, 100 vezes -1 é -100, -100/8 = -12,5, então, a gente vai ter -12,5. Beleza, como o nosso objetivo é minimizar a função, a gente vai encontrar o valor em "x" que faz a derivada desta função
ser igual a zero. Ok, somando com 12,5
dos dois lados da equação, a gente vai ter 12,5 do lado esquerdo
e isso vai ser igual a quanto? A gente pode colocar
o "x" em evidência, e aí a gente vai ter (√3/18) + 1/8, isso vezes "x". Para encontrar o valor de "x" agora basta dividir por esta expressão
dos dois lados da igualdade. Assim, a gente vai ter que "x"
é igual a 12,5 dividido por √3/18 mais, claro, 1/8. Beleza, praticamente
já terminamos o problema, porque a gente já encontrou
aqui o nosso ponto crítico, o ponto crítico em que faz
esta derivada ser igual a zero. Lembrando que um ponto crítico são aqueles pontos em que
a derivada é igual a zero ou aquele ponto em que
a gente tenha uma indefinição. Neste caso aqui, a gente não vai ter
nenhum ponto de indefinição, por isso que eu já peguei logo e igualei
esta derivada aqui com o zero, porque é a única possibilidade em que
a gente pode encontrar um ponto crítico. E esse ponto crítico que faz
essa derivada ser igual a zero é o resultado desta expressão aqui. Mas eu ainda não posso dizer se
este é um ponto de mínimo ou máximo. Para fazer isso, a gente precisa
encontrar a segunda derivada e avaliar a segunda derivada no intervalo
ao redor deste resultado aqui, ao redor deste ponto. Então vamos calcular a segunda derivada. A gente já sabe que a derivada
desta função em relação a "x" é igual a √3/18 vezes "x" mais 1/8 vezes "x"
menos 12,5. Derivando esta expressão, ou seja, encontrando a segunda
derivada da área combinada, bem, a derivada de √3/18 vezes "x"
é igual a √3/18, e a derivada de 1/8 vezes "x"
é igual a 1/8. Então, a segunda derivada aqui
tem este resultado. Notem que não tem uma
dependência de "x", certo? Se não tem uma dependência de "x" e aqui a gente só tem valores positivos, esta segunda derivada sempre
vai ser maior que zero, ou seja, vai ser sempre positiva. Se ela vai ser sempre positiva,
ao longo de todo o intervalo, a gente vai encontrar
uma derivada crescente. Assim, se a gente for avaliar
aquele ponto ali que faz a derivada ser igual a zero, a gente vai ter algo mais ou menos
desse jeito, em que aqui é o nosso ponto e aqui a gente vai encontrar no intervalo
ao redor desse ponto uma função com a concavidade
voltada para cima. Então ela é côncava para cima, já que desse lado a gente tem
uma segunda derivada positiva e, deste lado, a gente também vai ter
uma segunda derivada positiva. Assim, por mais que a derivada
desse lado seja negativa, ela está se tornando
cada vez mais positiva até chegar neste ponto em que
a derivada é igual a zero, depois ela continua se tornando
cada vez mais positiva. Sendo assim, como a gente tem uma função com
a concavidade voltada para cima, este ponto é o ponto de mínimo. Pelo fato de ele ser o ponto de mínimo, a gente pode dizer que o resultado
aqui desta expressão vai indicar para a gente a maior área
combinada pelas duas figuras. Então, vamos resolver aqui esta expressão. Agora a gente já pode resolver, a gente pega aqui calculadora
para resolver. Então, vamos ter 12,5 dividido, abro parênteses aqui,
(√3/18 + 1/8). Isso vai ser igual a 56,5 aproximadamente. Então, nós vamos ter um resultado
aproximadamente igual a 56,5 metros, que é a nossa unidade de medida. Então, o primeiro fio aqui em cima
tem que ter um comprimento igual, aproximadamente igual,
na verdade, a 56,5 m. E obviamente, o segundo fio tem
que ter uma distância menor. 100 - 56,5 vai ser algo próximo a 43,5. Então, isto aqui vai ser igual a 43,5 m. Desta forma, nós vamos conseguir
encontrar estas duas figuras em que a área combinada
por estas duas figuras vai ter o maior valor possível.