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Cálculo diferencial
Curso: Cálculo diferencial > Unidade 5
Lição 11: Como resolver problemas de otimização- Otimização: soma de quadrados
- Otimização: volume de uma caixa (parte 1)
- Otimização: volume de uma caixa (parte 2)
- Otimização: lucro
- Otimização: custo de materiais
- Otimização: área de triângulos e quadrados (parte 1)
- Otimização: área de triângulos e quadrados (parte 2)
- Problema de otimização: reta normal extrema a y=x²
- Otimização
- Problemas sobre movimento: cálculo da aceleração máxima
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Otimização: soma de quadrados
Qual é o valor mínimo de x^2+y^2, dado que seu produto tem que ser igual a xy = -16. Versão original criada por Sal Khan.
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- Em, por que de não considerou o -4 como ponto crítico além do 4? 6:25
Nessa conta de x²+y² não iria interferir, mas acho que em outras contas sim...(4 votos) - Após assistir as aulas sobre os pontos, e como se acha eles, fiquei na dúvida se há possilibidade de achar eles através da propriedade dos vértices de uma função em que é encontrado o x e y do ponto máximo ou mínimo por Vx= -b/2a e Vy=-delta/4a.(1 voto)
- Pra chegar nessa fórmula, é só igualar a primeira derivada de ax^2 + bx + c a 0, o que vai dar -b/2a, aí você pode substituir na função e vai chegar naquele valor -∆/4a(1 voto)
Transcrição de vídeo
RKA8JV - Olá! Neste vídeo, estou
fazendo uma pergunta. Qual é a menor soma possível dos quadrados de dois números se o seu produto é -16? Ok, normalmente, quando temos uma soma, a soma entre dois números
vai ser "x + y", certo? Só que aqui nós queremos saber a soma dos quadrados desses dois números. Então, esta soma vai ser igual a
x² + y², certo? Então o que nós queremos saber é qual é a menor soma possível,
o menor valor aqui nesta soma, o menor valor para esta soma,
que seja possível. Outra informação que este
enunciado nos deu é que o produto entre esse "x" e "y", entre os dois números, é igual a -16. Nós temos aqui, "x" vezes "y", e que isso é igual a -16. Algo interessante para a gente
fazer aqui nesta soma, é que se a gente quer
a menor soma possível, a gente tem que fazer um
processo de minimização, ou seja, a gente precisa
minimizar esta soma. Para minimizar esta soma, a gente precisa calcular
a derivada desta soma. No entanto, nós temos
estas duas variáveis, "x" e "y". Seria interessante,
a partir desta relação aqui, colocar apenas em função
de uma variável. A gente pode colocar em termos de "x"
ou colocar em termos de "y". No meu caso, eu prefiro colocar
tudo em termos de "x". Então, a gente vai substituir
este "y" aqui por algo que esteja em função de ''x". Como fazer isso? Aproveitar esta relação
que a gente já tem aqui. Se "x vezes y" = -16, eu posso afirmar que "y = -16/x". Então, se eu sei que "y = -16/x", eu posso substituir aqui no lugar
deste "y" aqui na soma. Então, nós vamos ter que a soma vai ser igual a x² + y², só que "y = -16/x". Então a gente tem (-16/x)². Claro, que agora nós temos
uma função de "x", então, esta soma vai ser uma
função em "x", certo, em que isto é igual a x² mais, -16² = 256, sobre x². Só que como a gente tem aqui
esse "x" no denominador, a gente pode colocá-lo
aqui em cima multiplicando, trocando o sinal do expoente, então, a gente vai ter x⁻². Então, agora nós já temos uma soma em função de "x",
em função da variável "x". Como nós estamos querendo minimizar, a gente precisa calcular
a derivada desta função. Calculando a derivada desta função, a gente vai encontrar
os pontos de máximo e mínimo. A partir desta derivada, a gente consegue encontrar
os pontos críticos. Tendo os pontos críticos em mãos, a gente consegue saber se esses
pontos são pontos de máximo ou mínimo, e a partir dessa informação, a gente consegue determinar a menor soma
possível para esses dois quadrados. Então vamos fazer isso, vamos inicialmente calcular
a derivada para esta função. Então, a derivada para esta função soma, ou seja, S'(x) é igual à derivada de x², que é igual a 2x. 256 é constante, certo? Vamos derivar o x⁻². O x⁻² vai ser igual a -2 vezes 256, e 2 vezes 256 = 512. Então, nós temos aqui, -512
vezes x⁻²⁻¹, que é igual a -3. Ok, agora que calculamos a derivada, nós podemos determinar os pontos críticos. Mas antes de fazer isso, a gente precisa ver se tem algum ponto
que tenha uma indeterminação. Como vimos aqui, y = -16/x, certo? Então, não podemos ter um "x = 0", porque senão vamos encontrar
um valor indeterminado, ou seja, "y'' é indeterminado aqui. Então, neste domínio,
não podemos ter um "x = 0". Para a gente agora saber
os pontos críticos em que o "x" não seja igual a zero, afinal, este é um ponto
de indeterminação, então, não pode ser um ponto crítico, nós vamos igualar esta
derivada aqui com o zero, ou seja, a derivada sendo igual a zero. A derivada é igual a 2x - 512 vezes x⁻³, isso igual a zero. Ok, você poderia dizer: olha, para "x" igual a zero, a gente vai ter uma derivada igual a zero. Certo. Só que como eu disse, o "x"
é um ponto que dá uma indeterminação, então, nós não podemos ter
o zero como ponto crítico. Vamos escolher outro ou outros pontos
que não sejam iguais a zero. Trabalhando nesta expressão aqui, a gente vai ter 2x sendo igual a 512 vezes x⁻³. Eu posso agora multiplicar por x³
em ambos os lados desta igualdade para eliminar este "x" aqui. Então vamos fazer isso, vamos multiplicar
por x³ aqui desse lado e também aqui deste lado. Assim, a gente vai ter, do lado direito, 2 vezes x⁴, e deste lado, a gente vai te x⁻³ vezes x³. A gente acaba anulando estes dois aqui, ficando apenas com 512. Dividindo os dois lados por 2, a gente tem do lado esquerdo x⁴, e do lado direito, 512/12 é 256. Para encontrar o nosso
ponto crítico agora, como a gente tem um x⁴, a gente pode tirar raiz quadrada
dos dois lados. √x⁴ = x², e √256 = 16. A mesma coisa a gente pode fazer aqui, tirar a raiz quadrada de x². √x² = x, e √16 = 4. Bem, o 4 é o nosso ponto crítico. Como se trata do nosso
único ponto crítico, possivelmente, é o número
que nós encontramos esta menor soma possível. Mas vamos testar aqui e ver se realmente esse
é um ponto de mínimo. Mas para saber realmente se este
"x = 4" é um valor de mínimo, nós podemos fazer um teste
utilizando a segunda derivada. Vamos fazer isso. A segunda derivada, S"(x) é igual, basta derivar
isto aqui novamente, a derivada de 2x é igual a 2. 512 vezes x⁻³, a gente joga esse -3 aqui para frente, menos vezes menos,
a gente fica com mais, então, a gente vai ter um número positivo, e 3 vezes 512 = 1536, vezes x⁻³⁻¹, -que é -4. Ok, então nós temos aqui
a segunda derivada. Se você observar bem aqui, independentemente do valor de "x"
que a gente colocar, a gente sempre vai obter
um valor positivo. Então, isso aqui é positivo
em todo o domínio. Se a gente fizer o gráfico
da nossa função, algo mais ou menos parecido
com isto aqui, a gente vai observar que
se a gente pegar este ponto, a gente vai ter uma certa inclinação. Se pegar esse outro ponto, ele vai ficando menos negativo. Se pegar nesse ponto,
ele fica menos negativo. Se pegar aqui embaixo,
ele fica horizontal. Se pegar aqui, ele
se torna mais positivo, aqui mais positivo
e a aqui, mais positivo. Ou seja, a gente vai ter uma inclinação
se tornando cada vez mais positiva. Então, como a segunda derivada
sempre vai dar um valor positivo, independentemente do ponto, a gente vai ter, em todo o domínio, uma concavidade voltada para cima. Então, para esta função, a gente vai ter uma concavidade
voltada para cima. E o que seria este "x = 4" aqui? Este "x = 4" é o ponto em que
a derivada é igual a zero, e a derivada é igual a zero no ponto em que a inclinação é nula, ou seja, nesse ponto aqui embaixo, em que a gente tem uma
reta tangente sendo horizontal. Então, este ponto aqui
só pode ser o ponto de mínimo. Agora que encontramos o "x",
nós podemos encontrar o "y", certo? Quer dizer, na verdade nem precisamos, porque aqui a gente já tem
algo em função de "x". Mas vamos encontrar aqui o "y"
de qualquer forma. "y = -16/x", certo? Então substituindo este "x" aqui, nós vamos ter um "y'' sendo igual a -16/4, que é igual a -4. Agora que a gente
já encontrou o "x" e o "y", nós podemos encontrar
qual é a menor soma possível. Então essa menor soma possível vai ser "S" sendo igual a x², 4² =16, mais y². -4² também é 16, e 16 + 16 é igual a 32. Então o que nós fizemos foi encontrar a derivada, os possíveis
pontos de indeterminação, a partir daí, nós encontramos
os valores, os pontos críticos, isso quando a derivada é igual a zero, determinamos a segunda derivada para saber se a concavidade
era voltada para cima antes ou depois desse número crítico. Como o nosso número crítico aqui
foi igual a 4, a gente viu que antes do 4 nós tínhamos uma derivada se tornando
cada vez menos negativa, e depois do 4, se tornando
cada vez mais positiva. Assim, tanto antes do 4
quanto depois do 4, a gente tinha uma concavidade
voltada para cima. Como a concavidade dos dois lados
estava voltada para cima, o 4 era um ponto de mínimo. A partir desse ponto que a gente soube
que o 4 era um ponto de mínimo, nós encontramos o valor de "y", realizamos a soma e encontramos
a menor soma possível. Mas aí você pode dizer para mim: olha, eu poderia ter feito
isso testando números. Eu poderia colocar aqui, -1 vezes 2,
-1 vezes 3, -1 vezes 4, se não desse, a gente ia
substituindo os "x" e os "y" até encontrar algo igual a -16. Seria inclusive até
muito fácil fazer isso, no entanto, neste problema
nós tivemos um valor inteiro, então, isso facilita a dedução. Só que por mais que você tentasse
aqui números inteiros, você não estaria tentando
por exemplo o 4,1 ou 4,0001. Ou seja, você não estaria
tentando todos os números do conjunto dos números reais. Então, vamos supor que ao invés de -16, você tivesse -17, ou quem sabe, -16,5. Seria bem mais difícil fazer isso, não é? Então todas as vezes que você tiver
números em que não dê para ir testando, o ideal é utilizar esse processo
que eu mostrei aqui neste vídeo.