Otimização: volume de uma caixa (parte 1)

RKA3JV - Neste vídeo, vamos pegar um pedaço de papelão de 20 cm por 30 cm e fazer um corte neste papelão, a fim de construir uma caixa. Mas queremos que esta caixa tenha o volume máximo. Aqui é 20 cm, aqui é 30 centímetros. E vamos fazer um corte de tamanho "x" de um lado, do tamanho "x" do outro. São 4 cortes, todos os 4 de tamanho "x". Então, 4 cortes para que possamos fazer a nossa caixa. Nós queremos dobrar, nós cortamos esta caixa. Cortamos e dobramos. Ao dobrarmos esta caixa, ela vai ficar com este fundo aqui. Este aqui vai ser o fundo da caixa, esta parte aqui vai ser o fundo da caixa. E estas daqui vão ser as laterais. Vamos colocar esta lateral de 30 cm em rosa. E vamos colocar esta parte que está 20 cm. Na realidade, 20 cm - 2x. Esta lateral aqui, que está em rosa, vai ser 30 cm - 2x. E esta parte, que está em azul, vai ser de 20 cm - 2x. Então, ao fazermos este corte, nós podemos levantar a caixa. Então, a caixa vai ficar algo deste tipo aqui. Vamos tentar desenhar a caixa. A caixa fica algo deste tipo aqui. Aqui nós temos nossa lateral. E podemos fazer a nossa caixa de tal forma que nós temos o nosso comprimento, a nossa profundidade aqui de 30 - 2. E deste lado de cá, nós temos a profundidade. Obviamente, não está em escala. A profundidade, esta parte aqui é a parte aqui de baixo, e esta parte aqui são as laterais. Este aqui vai ser o nosso 30 - 2x e esta parte aqui 20 - 2x. Obviamente, não está em escala, é apenas para ter uma noção. Ora, o que vai ser o volume da caixa? O volume da caixa em função de "x" vai ser a altura, que vai ser "x", vezes a lateral, que vai ser 20 - 2x, vezes a largura, que vai ser 30 - 2x. Ou seja, se nós multiplicarmos um lado da caixa vezes o outro lado da caixa, vezes sua altura, vai dar o volume. Agora, este tamanho de "x". Ou seja, vamos pegar aqui o 20 - 2x tem que ser maior ou igual a zero. Ou seja, nós temos que 2x tem que ser menor ou igual a 20, "x" tem que ser menor ou igual a 10. Isto é lógico, porque se "x" for 10, 2 vezes 10 dá 20, 20 menos 20, este lado não teria lado nenhum. E o "x" também não pode ser zero. Ou seja, tem que ser maior do que zero, obviamente. Então, o "x" vai ter que ser menor ou igual a 10 e vai ter que ser maior ou igual a zero. E vai variar entre estas duas fronteiras, entre zero e 10. Em zero a caixa não tem volume, porque ela não tem altura. E em 10 a caixa não tem volume, porque você cortou. Este "x" foi 10, cortou aqui até a metade, não dá para você fazer a caixa. O "x" tem que variar entre zero e 10. E a equação geral é esta aqui. Então, nós temos como calcular o volume. "x" vezes 20 - 2x, vezes 30 - 2x. Quando o "x" for zero, o volume é zero. E quando "x" for 10, o volume também vai ser zero. Nós queremos saber qual é o "x" que vai dar o volume máximo. Nós poderíamos derivar o volume e igualar a zero para ver qual seria o volume máximo, mas, como em uma prova pode-se utilizar a calculadora gráfica, nós vamos simular no "Modelos" e ver, pelo "Modelos", qual o valor de "x" que nos dá o volume máximo. Bem, nós conseguimos em 3,92, 1.056,31. Se baixarmos um pouco de 3,92, ele já baixa. E se superarmos 3,92, um pouco maior do que 3,92 ele baixa também. Ou seja, o máximo valor se dá em 3,92.