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Cálculo diferencial
Curso: Cálculo diferencial > Unidade 5
Lição 11: Como resolver problemas de otimização- Otimização: soma de quadrados
- Otimização: volume de uma caixa (parte 1)
- Otimização: volume de uma caixa (parte 2)
- Otimização: lucro
- Otimização: custo de materiais
- Otimização: área de triângulos e quadrados (parte 1)
- Otimização: área de triângulos e quadrados (parte 2)
- Problema de otimização: reta normal extrema a y=x²
- Otimização
- Problemas sobre movimento: cálculo da aceleração máxima
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Otimização: lucro
Quem sabe, você pode acabar gerenciando uma fábrica de sapatos um dia. Não seria má ideia saber como maximizar os lucros. Versão original criada por Sal Khan.
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Transcrição de vídeo
RKA14C Vamos supor que você queira entrar para o ramo de
uma fábrica de sapatos. Antes de você entrar
para esse ramo, você faz uma análise
da receita e dos custos. Vamos supor que a sua receita
em torno de milhares de sapatos seja de 10 para cada
milhar de sapatos. Obviamente, você faz
uma análise de custo. O custo de cada sapato, depois de
contratar uma equipe responsável, eles analisam que é algo do tipo: x³ - 6x² + 15x. Você quer otimizar o seu lucro. Então, o que é o lucro? O lucro dos sapatos vai ser
a receita dos sapatos menos o custo dos sapatos. Muito bem, então,
vamos desenvolver o lucro para verificar como
podemos maximizar. Nós temos o lucro, a receita é 10x,
menos o custo. Então, fica: -x³ + 6x² - 15x. Isso fica no total de: -x³ + 6x² - 5x. Isso é o seu lucro. Bem, para que nós possamos
ter um lucro máximo ou mínimo, o que nós fazemos? Nós derivamos, pegamos
a primeira derivada do lucro, e igualamos a zero. Ou seja, neste ponto, vai ser
um ponto de máximo ou mínimo. Derivando essa expressão, você tem -3x² + 12x - 5, e vamos igualar isso a zero. Bem, para acharmos
os máximos e os mínimos, nós podemos modificar
esta expressão aqui apenas por conveniência e multiplicar tudo por -1. Ficamos com 3x² - 12x + 5 = 0. Vamos ver o ponto de máximo e mínimo. Ou seja, vamos ver... Ou de mínimo. Nós temos aqui -b,
que é 12, mais a raiz quadrada de b vezes 2,
que é 144, menos 4 vezes a,
que é 3, vezes c,
que é 5, isso tudo sobre
2 vezes 3, que é 6. Ou você tem 12 menos √144 - 4 vezes 3 vezes 5,
tudo isso sobre 6. Essa conta vai nos dar: 3 vezes 4, que é 12,
vezes 5, fica 60. 144 - 60 = 84. Vamos fazer aqui na calculadora: 84, raiz, mais 12, igual, dividido por 6. Vamos ter 3,5275. Vamos ver se é isso mesmo. 3,5275. Ou menos, então vamos ver
o caso do menos: 84, raiz, troca o sinal, soma com 12, igual, e divide por 6. Vamos ter 0,47247. 0,47247. Bem, agora qual é
a próxima etapa? Nós temos que saber se isto aqui
é o máximo ou o mínimo e se este aqui é o máximo ou o mínimo para podermos produzir
a quantidade de sapatos que queremos produzir. Sabemos que isto aqui está
em milhares de sapatos ao dia. Então, o que nós podemos fazer? Nós podemos pegar
a segunda derivada, L"(x), e ver a concavidade. L"(x) vai ficar igual a... Nós temos L', que é -3x² + 12x - 5. Portanto, L"(x) = -6x + 12. Agora, vejamos: com 3,57275 vezes 6 vai dar um valor que é
mais negativo do que 12. Portanto, o nosso L"
para esse valor de 3,5275 é um número menor que zero. Vamos ver o L" para
o valor de 0,47247. Se colocarmos aqui...
Isso é mais ou menos 1/2, 1/2 vezes 6 = -3. Isso vai dar um número positivo. Então, o que isso quer dizer? Quando a segunda derivada é negativa, significa que a concavidade é para baixo. Então, a gente vai ter
um ponto de máximo. Ou seja, é o nosso lucro máximo. Neste segundo caso, quando a segunda derivada
é maior do que zero, nós vamos ter
a concavidade para cima. Vamos ter, na realidade,
o ponto de mínimo. Então, já sabemos qual é o valor, o número de sapatos diários que devemos produzir para
ter o nosso lucro máximo. Podemos calcular qual é
o nosso lucro máximo, uma vez que temos a equação
que nos dá o lucro máximo. Então, vamos calcular o lucro
que vamos ter ao fazer esses sapatos. Vamos pegar aqui
o lucro em cima de 3,5275. Isso vai ser igual a -(3,5275)³ mais (6 vezes 3,5275)² menos (5 vezes 3,5275). Bem, fazendo essa conta, nós vamos ter 3,5275³, igual, troca o sinal, mais 6 vezes, abre os parênteses, 3,5275, fecha os parênteses
e eleva ao quadrado, igual, menos 5,
vezes 3,5275, igual. Então, vamos ter um lucro de 13,128. Esse é o lucro diário
de milhares de sapatos, de 3,527 sapatos
produzidos ao dia, levando em conta a receita e levando em conta o custo. Verificamos que há
um ponto de máximo na segunda derivada. Verificamos quais são os pontos
de máximo e de mínimo na primeira derivada
igualando a zero. Quando a gente iguala a zero,
a gente tem inclinação zero. Ou seja, ele é máximo ou ele é mínimo. Quando a concavidade é para baixo, ou, no caso, quando a segunda
derivada é menor que zero, a concavidade é para baixo
no ponto de máximo. Então, calculamos
o ponto de máximo. Vimos qual é o lucro sobre
a quantidade de pares produzidos.