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Problemas sobre movimento: cálculo da aceleração máxima

Transcrição de vídeo

uma partícula se move ao longo do eixo x a partir de um tempo te maior ou igual a zero e sua velocidade é dada por vídeo they água - tel cubo +6 tem um quadrado mais 2 t em qual instante de tempo ter a partícula obtém a máxima aceleração bem o problema nos forneceu aqui uma função para velocidade e o que ele está pedindo pra gente encontrar máxima aceleração obtida por essa partícula em ajuda a gente começar a fazer isso é interessante a gente lembrar de algumas coisas por exemplo se eu tenho uma função que representa a posição dessa partícula ao longo do eixo x ou seja x de t para obter a velocidade dessa partícula basta de levar essa função assim a gente vai ter que a derivada de x de t ou seja x linha de t é igual a vida de t a função velocidade da partícula se a gente levar agora a velocidade nós vamos encontrar a função da aceleração dessa partícula ao longo dessa trajetória bem o problema forneceu aqui pra gente a função velocidade certo então se a gente quer obter a função a aceleração basta derivar essa função velocidade e é o que nós vamos fazer aqui ele falou pra gente que a velocidade dessa partícula função velocidade em relação ao tempo é igual a menos te elevado ao cubo mais 6 t elevada ao quadrado mais 2 t pra encontrar agora a função aceleração basta de levar essa função velocidade e pra derivar essa função aqui basta utilizar a regra da potência assim a gente vai colocar aqui o três na frente do t e vamos ter menos triste e aqui nos point nós vamos subtraiu 13 - um é igual a 2 mas a mesma coisa que a gente vai colocar o dois na frente do t assim a gente vai ter seis vezes dois que é igual a 12 e no expoente a gente também vai subtrair 12 - um é igual então a gente nem precisa colocar esse um aqui no expoente mas a derivada de 2 t que é igual a 2 beleza agora nós já temos aqui a função alienação mas o problema está pedindo pra gente enquanto o instante de tempo a partícula obtém a máxima aceleração se a gente já tem a função da aceleração a gente pode pilotar um gráfico para essa função e buscar o ponto em que essa aceleração vai ter um valor máximo por exemplo vamos supor que a gente vai pilotar aqui do lado como essa dá que se trata de uma função do segundo grau a gente vai ter um gráfico ter uma forma parabólica e ocenao aqui na frente do primeiro termo vai indicar para agentes e essa parada está voltada para cima ou para baixo como sinal aqui é negativo significa que essa função está voltada para baixo então a gente vai ter uma função da aceleração mais ou menos desse jeito aqui com essa concavidade voltada para baixo em que aqui é o ponto em que a gente vai ter a máxima aceleração dessa partícula bem como que nós poderíamos encontrar essa aceleração nesse ponto aqui nós temos essa reta tangente certo e para obter essa reta tangente basta derivar função aceleração nesse ponto essa reta tangente tem uma inclinação igual a zero e é nesse ponto em que a gente vai encontrar a máxima aceleração então pra gente encontrar o ponto em que a gente vai obter a máxima aceleração basta deriva' aceleração em relação ao tempo e encontrar o instante de tempo em que essa derivada é igual a zero porque é nesse ponto em que a inclinação da reta tangente é igual a zero que nós vamos ter o ponto de máxima aceleração então vamos fazer isso vamos levar essa função aceleração aqui derivando a aceleração nós temos novamente utilizando aqui a regra da potência a gente coloca esse dois aqui na frente do t assim nós vamos ter três vezes dois que é igual a 6 e subtraíram aqui no expoente dos menos um é igual a um aqui a derivada de 12 t é igual a doze percebam que essa derivada tem um sinal negativo aqui isso significa que à medida que o tempo passa essa derivada está se tornando cada vez mais negativa pelo fato dela está se tornando cada vez mais negativa significa que a gente vai ter uma concavidade voltada para baixo o interessante é que a gente também poderia fazer o teste aqui da segunda derivada fazendo teste a segunda derivado a gente encontrar um valor negativo e uma segunda de elevada tendo um valor negativo significa concavidade está voltada para baixo mas vamos se preocupar agora encontrar um instante de tempo que essa partícula obtenha máxima aceleração para fazer isso basta a gente igualar essa derivada que com 10 subtraindo por 12 dos dois lados aqui da igualdade a gente vai ter menos 6 t igual a menos 12 e / menos seis dos dois lados a gente vai chegar a um resultado igual a 2 então esse daqui é um instante de tempo em que essa partícula vai alcançar a máxima aceleração então a gente pode dizer que a máxima aceleração vai ser em t igual a 2 então qual é a máxima aceleração aqui um tempo igual a dois toque mas só como diversão vamos realmente constatar que essa concavidade que está voltada para baixo para fazer isso a gente pode fazer o teste da segunda derivadas a gente vai derivar a derivada da aceleração então derivando duas vezes aqui a aceleração nós vamos dele e versa derivada aqui é derivada de menos 6 t é igual a menos seis ea derivada de 12 igual a zero isso significa que a segunda derivada da aceleração sempre vai ter um valor negativo então se ela sempre vai ter um valor negativo significa que ao longo do nosso intervalo a gente sempre vai encontrar uma concavidade voltada para baixo a concavidade sempre estará para baixo é devido a essa com qualidade está sempre voltada para baixo que a gente pode ter certeza que esse ponto aqui vai ter a máxima aceleração ou seja num instante de tempo igual a 2