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Análise da função com a sua derivada

Cálculo da derivada de f(x)=x³-12x+2 e desenho do gráfico da derivada, para que possamos dizer quando f é crescente ou decrescente e onde estão seus pontos extremos relativos. Versão original criada por Sal Khan.

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Transcrição de vídeo

RKA14C Analisando esta função de terceiro grau... Vamos tentar esboçar esta função. A primeira coisa que devemos fazer é achar os pontos críticos, ou seja, os pontos em que ela deixa de crescer para passar a decrescer, ou deixa de decrescer para passar a crescer. Para isso, vamos primeiro calcular sua derivada. Calculando sua derivada, temos: 3x² - 12... A derivada de uma constante é zero. Então, aqui nós temos nossa derivada. Igualando ela a zero, vamos ter os pontos críticos. Ou seja, nós temos: 3x² - 12 = 0. Então, x² = 4. E vamos ter dois pontos críticos. Vamos ter quando x = -2, e quando x = 2. Desenhando esse gráfico, nós temos os seguintes pontos: temos aqui o eixo y e temos aqui o eixo x, nós temos aqui o ponto -2 e temos aqui o ponto 2. Vemos que, quando x = 0, y = -12. Portanto, ela passa por este ponto: -12. O gráfico da nossa derivada vai ser algo deste tipo aqui. Ela vai passar pelo ponto -12, as concavidades dela são para cima. O que acontece antes do ponto -2? Antes do ponto -2, ela é positiva. Significa que ela está crescendo. Nesse ponto -2, ela para de crescer. Depois do ponto -2, ela começa a decrescer e tem uma inclinação negativa. Nesse ponto 2... Acontece que, antes do ponto 2, ela é negativa, portanto, ela está decrescendo. No ponto 2, ela para de decrescer. Após o ponto 2, ela começa a crescer. Ou seja, se nós analisarmos o gráfico da nossa função x³ - 12x + 2, aqui nós vamos ter um ponto em que ela crescia e depois passa a decrescer. Ou seja, nós vamos ter um ponto de máximo. Neste ponto aqui, ela estava decrescendo e passa a crescer. Portanto, nós vamos ter... Neste ponto aqui, ela estava decrescendo e passa a crescer. Portanto, esse vai ser um ponto de máximo, e este aqui vai ser um ponto de mínimo. Vamos tentar agora esboçar o gráfico da nossa função do terceiro grau. Nós vamos ter alguns pontos. Lógico que não está em escala. Nós temos x e y. Quando for no ponto 2... Ele é um ponto crítico. Então, vamos colocar aqui. Quando for no ponto -2, esse também é um ponto crítico. Temos um ponto em que ela passa quando x = 0. Aqui vai dar zero, ela vai passar pelo ponto 2. Lembre-se que não está em escala. Ela vai passar por um ponto 2. No ponto de máximo... Neste ponto de máximo, que é -2, nós vamos ter: f(-2) = (-2)³ - 12 vezes (- 2) + 2. Ou seja, vamos ter: 8 + 24... Desculpa, aqui é -8, porque está na terceira... -8 + 24 + 2, o que vai dar 16 + 2 = 18. Portanto, ela vai passar no ponto de máximo, no ponto aqui, vamos colocar 18. Então, aqui vai ser um ponto de máximo. O ponto de mínimo... Vamos colocar em outra cor. O ponto de mínimo vai ser quando x = 2. Portanto, nós temos: 2³ - 12 vezes 2 + 2. Ou seja, nós temos: 8 - 24 + 2. Isso vai dar -16 + 2 - 14. Então, ela vai passar por um ponto de mínimo aqui em -14. Portanto, é -14 quando x = 2. Esse é um ponto de mínimo. Agora já podemos esboçar a nossa função do terceiro grau. Aqui é um ponto de máximo, portanto, ela estava crescendo, e aqui nós estamos... Pela derivada, sabemos que ela é positiva, portanto, ela estava crescendo. Quando chega neste ponto, ela é zero, então, a inclinação dela é zero. Depois desse ponto, a inclinação começa a ser para baixo. Então, aqui a inclinação dela é zero. Ela vai passar pelo ponto 2 e vai decrescendo, decrescendo... Ela está decrescendo até o ponto x = 2. Nesse ponto, ela muda o sentido de decrescer para começar a crescer novamente. Nós temos aqui negativo, que significa que ela está decrescendo. Neste ponto, ela é zero. Portanto, a derivada é zero nesse ponto. A partir desse ponto, ela começa a crescer. Então, nós temos agora o esquema da nossa função do terceiro grau.