Esboço de curva com cálculo: logaritmo

nesse vídeo vamos tentar esboça o gráfico de uma função sem o uso de calculadora gráfica vamos supor que a função seja logaritmo natural de she's a quarta mais 27 a primeira coisa que devemos fazer é pegar derivada igual a zero pois aí sabemos os pontos e máxima de mínimo então aqui derivando nós temos que levar primeiro aqui dentro vamos ter 4 x a terceira vezes 11 sobre x a quarta mais 27 ou podemos escrever que a derivada é 4x a terceira vezes x a quarta mais 27 é levada menos um hora esse número que está no nadador o mínimo que ele pode assumir é 27 ou seja um número positivo ou seja essa multiplicação só vai dar zero quando x10 então nós temos que para igualar isso aqui é a 0 nós temos que é filhinha de zero é igual a zero portanto o ponto que dê masmoudi mínimo vai ser quando foi o fd zero hora fd01 vai ser quanto vamos pegar aqui na calculadora 0 a 40 mais 27 então vai ser um logaritmo natural de 27 ou seja 3,29 então temos fd01 igual a 3,29 então esse ponto zero 3,29 é um ponto de máximo ou de mim para saber os pontos de inflexão temos que tirar a segunda é derivado portanto a segunda derivada efe duas linhas de x vamos levar essa função aqui nós temos uma multiplicação então vai ser a derivada do 1º 12 x a segunda vezes o 2º x a quarta mais 27 é levada -1 mais o primeiro 4x a terceira vezes a derivada do segundo a de levar o segundo vai ser 4 x a terceira vezes - um vezes x a quarta mais 27 levada menos dois podemos colocar de outra forma como 12x a segunda sobre x a quarta mais 27 ac mais com menos dá menos menos 464 16x ater-se à x a sexta sobre x a quarta mais 27 é levado a segunda vamos ter então o efe duas linhas como sendo igual aqui podemos botar no mesmo denominador então efe duas linhas de x fica sendo igual à x a quarta mais 27 é levar a segunda 12 x a segunda vezes x a quarta mais 27 - 16 x a sexta vamos abrir os parentes nós temos efe duas linhas de x igual a 12 x a sexta mais 12 x a segunda vezes 27 - 16 x a sexta isso tudo sobre x a quarta mais 27 é levar a segunda vamos ver se a gente sempre fica mais um pouco temos efe duas linhas de x igual a 27 vezes 12 x a segunda menos 4 x a sexta sobre x a quarta mais 27 elevada segunda vamos colocar em evidência 4x a segunda então temos efe duas linhas de x igual a 4 x a segunda temos 27 vezes 3 - x a quarta isso tudo sobre x a quarta mais 27 é levado à 2ª agora sim vamos analisar os sinais primeiro em baixo sempre vai ser um número positivo pois o menor número que x a quarta pode assumir a 0 ou se ele for negativo vai dar a quarta vai ser um número positivo e ainda mais ao quadrado então aqui sempre ser um número positivo então nós queremos igualar efe duas linhas a 0 e aí podemos saber os pontos de inflexão sabemos o ponto de inflexão se antes desse ponto ele muda de sinal ou não ou seja ele muda de concavidade ou não a concavidade é pra cima chefe duas linhas foi maior do que zero ea concavidade abaixo cef duas linhas foi menor do que 0 bem vamos ver quando é que isso aqui é igual a zero nós temos 4 x a segunda igual a zero ou seja x igual a zero e temos 23 vezes sete da 88 81 - x a quarta igual a zero ou seja x a quarta igual 81 nós temos x a segunda igual a 9 ou seja x igual a mais ou menos três então os poucos candidatos a inflexão são 10 o mais 3 eo menos três vamos analisar um por um primeiro vamos pegar um número um pouco menor do que 0 e ver o que acontece com o sinal df duas linhas de x se é maior ou menor do que 0 pegando um pouco menor do que 0 nós temos aqui em baixo número positivo aqui em cima nós temos um número positivo um número próximo de zero não vai fazer diferença e nós temos aqui um número positivo porque está é lavado ao quadrado então vai ser f de zero vai ser maior do que zero quando x for maior do que zero um pouco o que acontece pegar 0,4 quer coisa aqui vai ser muito próximo de zero vai dar um número positivo esse número aqui também é positivo o denominador positivo portanto efe duas linhas de x vai ser maior do que zero portanto esse ponto é um ponto crítico é um ponto que poderia ser um ponto de inflexão mas ele não é pois efe duas linhas não muda de sinal ou seja não muda concavidade concavidade aqui é pra cima ea concavidade continua sendo pra cima vamos analisar agora no ponto mais ou menos 3 1 x 1 pouco maior do que 3 o que acontece com efe duas linhas de x um pouco maior do que 3 o denominador vai ser positivo porque aqui tá x a quarta um pouco maior do que três aqui nós temos x a corta 3 a 4 81 27 vezes três de 81 portanto esse cara é um pouco maior do que 80 e um valor absoluto como temos um - aqui vai dar um número negativo e aqui vai ser um número positivo portanto aqui em cima vai dar um número negativo então portanto quando ele for maior do que três akon cavidade vai ser para baixo e quando o x for um pouco menor do que 3 o que acontece com efe duas linhas de x ora fdr x quando foi um pouco menor do que 3 2,4 é coisa esse xis elevada quarta vai ser um pouco menor do que 81 ora quando você tem 81 - um número menor do que 81 obviamente saque vai ser positivo e vejo número positivo significa que ele vai ser positivo e tó concavidade é pra cima significa que antes de 3 a com qualidade é pra cima e depois de três a contabilidade é para baixo portanto aqui é um ponto de inflexão vamos analisar agora para x menor do que menos 3 e para x maior do que menos três o que está acontecendo quando x for menor do que menos tristes quando x for menor do que 1 - 3 - 3,1 -3 glam qualquer coisa esse número aqui como está a quarta vai dar um número positivo tem um negativo na frente portanto vai dar um número maior do que 81 com negativo na frente esse número vai ser negativo aqui está elevada ao quadrado vai ser positivo aqui em baixo sempre vai ser positivo portanto vai ser negativo então efe duas linhas quando x pormenor do que menos três vai ser um número negativo portanto a concavidade é pra baixo e quando x for maior do que menos 3 ou seja menos 2,9 menos 2,8 esse número vai ser menor do que 81 como temos um - na frente vamos ter 81 - o número é menor do que 81 então aqui vai dar um número positivo e aqui como tal quadrado vai dar positivo aquino dominado todo vai ser positivo portanto efe duas linhas vai ser positivo portanto a concavidade vai ser pra cima então esse aqui é um ponto de inflexão então este ponto aqui não é de inflexão como ele não é um ponto de inflexão ea concavidade é pra cima esse ponto vai ser um ponto de mínimo e nesse caso agora já podemos notar nossa função vamos colocar aqui o eixo do y vamos colocar aqui o início do xx e vamos colocar os valores que são importantes um dois três quatro cinco e aqui um dois três obviamente as enchentes não está em escala 1 1 2 3 então quando x for 0 y é 3,9 então ele vai passar por esse ponto aqui e esse ponto é um ponto de mínimo portanto essa daqui vai ser uma concavidade assim ele vai ter esse formato aqui agora vamos ver os pontos de inflexão quando x por três vamos fazer aqui na calculadora 3 elevada quarta 8181 mas 27 e vamos tirar o logaritmo natural que vai dar 4,7 aproximadamente ou seja ele vai passar no ponto de inflexão vai ser o ponto 3 e 4,7 aqui nós temos 34 então 47 vai ser um ponto por aqui esse é um ponto de inflexão outro ponto de inflexão menos três como menos três está elevado a quarta também vai dar 4,7 portanto aqui vai ser também um ponto de inflexão então nossa curva vamos colocar aqui tudo em outra cor nossa curva vai ter um mínimo aqui em 3,29 e vai ter os pontos de inflexão quando x por três ipos um por 4,7 aproximadamente ele vai fazer isso e desse lado de cá ele tem a com qualidade pra baixo vamos ver aqui acima de -3 a concavidade é pra cima e abaixo de -3 a concavidade abaixo portanto ele vai ter um ponto de inflexão aqui ou seja vamos colocar em outras cores aqui a concavidade passa a ser para baixo aqui a concavidade ainda é pra cima antes de 3 a contabilidade é pra cima ainda depois de três a contabilidade é pra baixo então é assim que vai ficar nossa curva vamos verificar se este realmente o gráfico que nós vamos obter quando nós representamos através do computador vem aí então vejamos aqui nós temos aqui y igual logaritmo tem que colocar te leva a quarta mais 27 e vamos plantar agora nosso gráfico então a opa ele faz exatamente isso então aqui em 3,1 alguma coisa ele é um ponto de mínimo mas não é um ponto de inflexão em 3 ele tem 4,1 aproximadamente 3 aqui vamos colocar em 3 4,7 exatamente aqui o ponto de inflexão e quando for - 3 - 3 ele vai ter outro ponto de inflexão - 3 - 3 4,7 também tem um ponto de inflexão então antes ele tenha com qualidade pra cima depois ele terá com qualidade para baixo aqui não é um ponto de inflexão ele é apenas um ponto de mínimo onde é filhinha nós igualamos a 0 e verificamos que quando x for 0 y era 3,1 alguma coisa e vimos que nós temos um ponto de inflexão aqui tanto em 3 que é o nosso 4,737 e menos três que é o nosso 4,7 também então realmente está bem plotado a nossa curva revisando nós temos que a primeira derivada nós igualamos a 0 e vimos que era um ponto crítico não sabíamos será mínimo ou máximo depois que tiramos a segunda derivada e verificamos que antes do 0 e depois do 0 ele não mudava concavidade ea concavidade era pra cima nós verificamos que era um ponto de mínimo e tal por isso protestamos o ponto mínimo no ponto zero 3,29 que esse ponto aqui depois analisamos no ponto 3 antes do 3 e depois de três demos que depois do 3 a concavidade abaixo ou seja é a concavidade pra cá depois do 3 antes do 3 a concavidade é pra cima então nós representamos a curva dessa forma analisando menos três nós temos antes do menos três antes de menos 3 ou seja menor do que menos três a contabilidade é para baixo portanto aqui há concavidade para baixo e depois do -3 a contabilidade é pra cima portanto aqui é um ponto de flexão aqui é um ponto de inflexão e aqui é um ponto de mínimo e com isso conseguimos botar nosso gráfico