Como encontrar o intervalo crescente dada a derivada

RKA4JL - Seja g uma função definida para todos os números reais. Também seja g', a derivada de g, definida como g'(x) igual a x² sobre (x menos 2)³. Em quais intervalos g está crescendo? Para você determinar os intervalos em que a função está crescendo basta simplesmente observar a própria função, atribuir alguns valores em certos intervalos e ver onde isso está acontecendo. O problema é que nós não temos a função g aqui. Nós só temos a função g', que é a derivada de g. Então, nesse caso, como é que a gente conseguiria determinar os intervalos em que g está crescendo? Para a gente determinar os intervalos em que g está crescendo, ou seja, aumentando, basta lembrar que é nos intervalos onde a gente tem a derivada da função g que esses valores serão positivos, ou seja, todas as vezes que a gente determinar a derivada e essa derivada der um valor positivo significa que naquele ponto específico a função está crescendo. Assim, se a gente quer os intervalos em que g está crescendo, basta a gente encontrar os intervalos em que a derivada de g, ou seja, g' vai ser maior que zero. Para fazer isso basta a gente atribuir alguns valores aqui, fazer uma avaliação não tão criteriosa e então a gente consegue determinar isso. Mas tudo bem, não vamos fazer desse jeito. Vamos fazer uma avaliação bem criteriosa aqui. Como é que a gente consegue determinar os intervalos em que essa derivada é positiva? Para fazer isso a gente precisa encontrar os pontos críticos. E o que seriam esses pontos críticos? Os pontos críticos são aqueles pontos em que o sinal da derivada está mudando, em que a função possivelmente está alterando de crescente para decrescente ou de decrescente para crescente e esses pontos críticos existem quando a derivada é igual a zero ou quando a derivada é indefinida em um certo ponto. Então os pontos críticos são aqueles pontos em que a derivada, ou seja, g'(x) é igual a zero ou aqueles pontos em que a derivada é indefinida. Beleza. E como que a gente consegue encontrar esses pontos aqui? Facilmente a gente consegue observar que é derivada vai ser igual a zero quando x for igual a zero, afinal de contas a 0² é zero e a gente vai ter zero menos 2³, que vai ser igual a -8. A gente vai ter zero dividido por -8, que é zero. Então a derivada vai ser igual a zero quando x for igual a zero. Agora, será que existe algum ponto de indefinição? Sim, a gente não pode ter zero no denominador. Esse ponto vai ser um ponto de indefinição. A gente não vai conseguir definir a derivada nesse ponto. Como é que a gente consegue encontrar esse ponto aqui? Eu preciso encontrar, então, esse ponto dizendo que x menos 2 é igual a zero, afinal de contas x menos 2 sendo igual a zero a gente vai ter 0³, que também é zero. Então esse ponto de indefinição vai ser quando x menos 2 for igual a zero, ou seja, quando x for igual a 2. Então esses dois pontos aqui são os pontos críticos. Então os pontos críticos são os pontos em que x é igual a zero ou x é igual a 2. Quando x for igual a zero, a derivada vai ser igual a zero e quando x for igual a 2 a gente vai ter um ponto de indefinição. Agora que já sabemos esses pontos críticos, a gente consegue avaliar os intervalos antes do zero, entre zero e 2, e depois do 2, e então a gente vai conseguir saber se a derivada é positiva ou negativa e com isso saber se a função está crescendo ou decrescendo. Vamos lá. A gente pode fazer isso avaliando através de uma reta real. Essa aqui seria nossa reta crescendo para o mais infinito e aqui vindo para o menos infinito. A gente pode começar do zero. Aqui estará nosso zero e aqui vai estar o um, dois, três e assim sucessivamente, e aqui nesse lado a gente pode colocar só o -1 aqui, afinal de contas a gente não tem outros pontos críticos para cá. Vamos colocar só o -1. A gente tem que os nossos pontos críticos são x igual a zero (então a gente coloca aqui esse primeiro ponto crítico) e o nosso segundo ponto crítico é x igual a 2. A gente coloca aqui. Vamos avaliar essa derivada nesse intervalo vindo de menos infinito até zero, depois entre zero e 2 e depois do 2 até o mais infinito. Então, primeiro, vamos avaliar aqui nesse intervalo, nesse intervalo que vem pra cá, que vai do menos infinito até zero. Para avaliar, a gente pode pegar qualquer ponto aqui e substituir na nossa derivada para a gente saber se essa derivada é positiva ou negativa. Vamos lá. Por exemplo, a gente pode pegar -1. Poderia ser qualquer outro valor, não importa, mas vamos pegar -1. (-1)² vai ser 1², ou seja, positivo. -1 menos 2 vai ser -3 e -3, que é um número negativo elevado ao cubo, também vai ser um número negativo. Então a gente vai ter um número positivo dividido por um número negativo e um número positivo dividido por um número negativo é o quê? Um número negativo. Então a gente pode dizer que nesse intervalo vindo de menos infinito até zero a nossa derivada g'(x) é negativa. Se a nossa derivada é negativa, é menor que zero, significa que nesse intervalo a função está decrescendo, e não crescendo. Agora vamos para o nosso segundo intervalo, nosso intervalo que vai de zero até 2, ou seja, esse intervalo aqui. A gente vai fazer a mesma coisa aqui. A gente pode pegar qualquer valor nesse intervalo, substituir na derivada e ver se é um valor positivo ou negativo. Por exemplo, a gente vai pegar 1. 1² é 1, que é um número positivo. Se eu pegar 1 menos 2, a gente vai ter -1, que é negativo, e um número negativo elevado ao cubo também vai ser negativo. Isso se repete para qualquer valor aqui dentro desse intervalo. Pegando um número positivo e dividindo por um número negativo, a gente vai ter novamente um número negativo. Então nesse intervalo indo de zero até 2, a nossa derivada g'(x) também é negativa. E se é negativa, significa que nesse intervalo a nossa função está decrescendo. Agora vamos pegar o último intervalo, esse intervalo que vai de 2 até mais infinito. Então o intervalo que vai de 2 até o mais infinito. Pegando qualquer valor e colocando aqui vamos ver o que acontece. Por exemplo, 3. 3²... 3 é positivo, e um número positivo elevado ao quadrado continua sendo positivo. 3 menos 2 vai ser 1 e 1 é um número positivo. Um número positivo elevado ao cubo é um número positivo. E se você pegar qualquer valor aqui nesse intervalo, você vai encontrar a mesma coisa, sempre um número positivo dividido por um número positivo. Como falei, um número positivo dividido por um número positivo dá um número positivo. Então aqui nesse intervalo a gente vai ter que g', a derivada de g(x), é positiva e se a derivada é positiva significa que a função está crescendo nesse intervalo. Sendo assim, em quais intervalo g está crescendo? A gente pode dizer que é apenas no intervalo que vai 2 até o mais infinito. Então a resposta é o intervalo indo de 2 até o mais infinito, ou também você poderia apresentar essa resposta desse jeito: para todos os valores em que x é maior que 2. Então é nesse intervalo que a nossa função está crescendo.