Se a função u é contínua em x, então Δu→0 conforme Δx→0

RKA3JV - Neste vídeo, vamos preparar para a prova da regra da cadeia. Vamos supor que uma função u(x) seja contínua. Então, ela é contínua, não tem pontos de descontinuidade quando "x" tende a um determinado valor "c". Então, isso implica que a variação de "u", ou seja, a variação da função "u" tende a zero, quando a variação de "x" tende a zero. Então, é isso que nós vamos demonstrar e preparar para regra da cadeia. Ora, se você tem o limite de u(x) quando "x" tende a "c", e a função é contínua, você vai obter o u(c). Ou seja, ele não vai ser um ponto que não esteja dentro da continuidade da função. A aproximação pelo lado esquerdo vai ser igual à aproximação pelo lado direito, que será igual à aproximação quando "x = c". Pela propriedade dos limites, podemos dizer que o limite de u(x) - u(c), onde este u(c) é um número, este u(c) depende de "c", mas está aplicado à função "u". E você obtém um número como 5, como π, como "e". Quando você tem "x" tendendo a "c", ora, simplesmente, este limite vai tender a zero. Pois, obviamente, u(x) será u(c), e u(c) - u(c) será zero. Então, vamos ver aqui no gráfico, mais ou menos, o que está acontecendo. Então, temos aqui nosso eixo "u" que nós estamos usando como uma variável para essa definição. Aqui, nosso "x", e vamos colocar uma função qualquer. Então, nós temos o nosso ponto "c", que vale na nossa função u(c). Nós temos nosso ponto "x", que vale na função nosso u(x). E o que nós queremos mostrar é que o Δu, que vai ser igual a u(x) - u(c) tende a zero. E o Δx vai ser igual a "x - c". Ou seja, nosso Δx é essa distância daqui para cá, "x - c". Essa distância daqui para cá. Enquanto que nosso Δu é a nossa distância na função "u", essa distância vertical. Significa que quando "x" tende a "c", quando "x" tende a um valor menor, o u(x) tende a u(c). Portanto, o nosso limite de Δu para Δx, tendendo a zero, será igual a zero. E isso vai ser muito importante para que, nos próximos vídeos, nós possamos demonstrar a regra da cadeia. Pois, como Δx tende a zero, obviamente, Δu também tende a zero.