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Regra do quociente a partir das regras do produto e da cadeia.

Neste vídeo, mostramos como você pode derivar a regra do quociente usando as regras do produto e da cadeia (uma regra a menos para decorar!). Versão original criada por Sal Khan.

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Transcrição de vídeo

RKA4JL - Eu já mostrei para você a regra do produto em uma derivada, ou seja, supondo que a gente tem o produto de duas funções f(x) e g(x) e queremos calcular a derivada deste produto, a derivada deste produto vai ser igual à derivada da primeira função, f'(x), vezes a segunda função, ou seja, g(x), mais a primeira função (não é para calcular a derivada da primeira função. É a primeira função mesmo, ou seja, f(x)), vezes a derivada da segunda função, que é a derivada de g(x). Em cada um dos termos nós temos que calcular a derivada de uma função e não da outra, e assim nós alteramos. Aqui a derivada de f, não a de g, e aqui a derivada de g, não a de f. Então fazendo uma pequena revisão, esta é a regra do produto. O que eu quero fazer neste vídeo é replicar essa ideia da regra do produto para algo que muitos livros de cálculo chamam de regra do quociente. Claro, se já conhece essa regra você vai conseguir fazer os cálculos muito mais rápido, mas como sempre esqueço qual é a regra do quociente, eu sempre parto da regra do produto e eu consigo encontrar regra do quociente utilizando a regra do produto. Mas vamos ver aquilo que eu estou falando. Vamos deixar isso tudo mais claro. Vamos imaginar que temos uma expressão escrita dessa forma: f(x) dividido por g(x) e nós queremos calcular a derivada disso, ou seja, a derivada de f(x) sobre g(x). O ponto-chave desse problema é reconhecer que isso aqui é a mesma coisa da derivada de, em vez de escrever f(x) sobre g(x), podemos escrever f(x) vezes (g(x))⁻¹. A partir disso podemos utilizar a regra do produto. Assim, qual vai ser o resultado disso aqui? Vamos utilizar a regra do produto. Nós vamos ter que essa derivada vai ser igual à derivada da primeira função, que está aqui, e vamos chamar isso de f'(x), vezes a segunda função, que é (g(x))⁻¹ e isso mais a primeira função, que é f(x), vezes a derivada da segunda função, e é aqui que nós temos que parar e pensar um pouco sobre a composição de funções. A derivada da parte externa, que será algo elevado a -1, será -1 vezes, nesse caso, (g(x))⁻² e nós teremos que calcular também a derivada da função interior em relação a x, que será g'(x). Assim encontramos isso utilizando a regra do produto e a composição de funções que a gente costuma chamar de regra da cadeia. Essa não é a regra do quociente que você costuma ver em seu livro de cálculo. Então vamos simplificar isso aqui um pouco mais. Podemos escrever esse termo logo aqui como f'(x) sobre g(x) e poderíamos escrever tudo isso como... Colocando o negativo na frente teremos -f(x) vezes g'(x) e tudo isso sobre (g(x))². Melhorando um pouco mais essa visualização, nós vamos ter tudo isso sobre (g(x))². Claro, isso ainda não é a forma que você costuma encontrar em seu livro. Para fazer isso nós temos que somar essas duas frações. Então vamos multiplicar o numerador e o denominador por g(x), encontrando tudo em função de (g(x))² no denominador. Se multiplicarmos o numerador por g(x) teremos g(x) aqui e o denominador será (g(x))². Agora a gente pode somar essas duas frações. Assim a derivada de f(x) sobre g(x) vai ser igual à derivada de f(x) vezes g(x) menos f(x) vezes g'(x) e tudo isso sobre (g(x))². Mais uma vez: você pode sempre derivar isso utilizando a regra do produto e a regra da cadeia. Então se quiser calcular a derivada de uma função desse tipo de uma forma mais rápida, você não precisa utilizar a regra do produto. Basta simplesmente utilizar essa regra, que é chamada de regra do consciente. Então para você ver o padrão entre a regra do produto e a regra do quociente, olhe bem isso aqui: nós vamos sempre ter a derivada de uma função que multiplica a outra função e em vez de somar a derivada da segunda função multiplicada pela primeira função, nós vamos subtrair tudo isso sobre a segunda função elevada ao quadrado. Quando encontramos a derivada da função no denominador aqui acima, existe uma subtração e por isso nós vamos colocar tudo isso sobre a segunda função elevada ao quadrado. Ou seja, diferente da regra do produto em que a gente tem uma soma, aqui nós vamos ter uma subtração e vamos colocar tudo isso sobre a segunda função elevada ao quadrado.