tinham que prender quem inventou isso

Conteúdo principal

Regra da cadeia

A regra da cadeia nos diz como calcular a derivada de uma função composta. Revise seus conhecimentos sobre funções compostas, e aprenda a aplicar a regra da cadeia corretamente.

A regra da cadeia diz:

start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, open bracket, f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, close bracket, equals, f, prime, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis

Ela nos diz como calcular a derivada de funções compostas.

Revisão rápida de funções compostas

Uma função é composta se você puder escrevê-la como f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis. Em outras palavras, é uma função dentro de uma função ou uma função de uma função.

Por exemplo, start color #1fab54, cosine, left parenthesis, end color #1fab54, start color #e07d10, x, squared, end color #e07d10, start color #1fab54, right parenthesis, end color #1fab54 é composta, porque se considerarmos start color #1fab54, f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #1fab54 e start color #e07d10, g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared, end color #e07d10, então start color #1fab54, cosine, left parenthesis, end color #1fab54, start color #e07d10, x, squared, end color #e07d10, start color #1fab54, right parenthesis, end color #1fab54, equals, start color #1fab54, f, left parenthesis, end color #1fab54, start color #e07d10, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, right parenthesis, end color #1fab54.

start color #e07d10, g, end color #e07d10 é a função dentro de start color #1fab54, f, end color #1fab54, então chamamos start color #e07d10, g, end color #e07d10 de função "interna" e start color #1fab54, f, end color #1fab54 de função "externa".

start color #1fab54, start underbrace, cosine, left parenthesis, space, start color #e07d10, start overbrace, x, squared, end overbrace, start superscript, start text, i, n, t, e, r, n, a, end text, end superscript, space, end color #e07d10, right parenthesis, end underbrace, start subscript, start text, e, x, t, e, r, n, a, end text, end subscript, end color #1fab54

Por outro lado, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, dot, x, squared não é uma função composta. Ela é o produto de f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis por g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared, mas nenhuma das funções está dentro da outra.

Problema 1

A função g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, natural log, left parenthesis, s, e, n, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis é uma função composta? Se sim, quais são as funções "interna" e "externa"?

(Escolha A)
g é composta. A função "interna" é natural log, left parenthesis, x, right parenthesis e a função "externa" é s, e, n, left parenthesis, x, right parenthesis.
(Escolha B)
g é composta. A função "interna" é s, e, n, left parenthesis, x, right parenthesis e a função "externa" é natural log, left parenthesis, x, right parenthesis.
(Escolha C)
g não é uma função composta.

Erro comum: não reconhecer se uma função é composta ou não

Geralmente, a única maneira de calcular a derivada de uma função composta é usando a regra da cadeia. Se não reconhecermos que uma função é composta e que a regra da cadeia deve ser aplicada, não seremos capazes de calcular a derivada corretamente.

Por outro lado, aplicar a regra da cadeia em uma função que não seja composta também resultará em uma derivada errada.

Especialmente com funções transcendentais (por exemplo, funções trigonométricas e logarítmicas), os alunos muitas vezes confundem composições como natural log, left parenthesis, s, e, n, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis com produtos como natural log, left parenthesis, x, right parenthesis, s, e, n, left parenthesis, x, right parenthesis.

Problema 2

A função h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, cosine, squared, left parenthesis, x, right parenthesis é uma função composta? Se sim, quais são as funções "interna" e "externa"?

(Escolha A)
h é composta. A função "interna" é cosine, left parenthesis, x, right parenthesis e a função "externa" é x, squared.
(Escolha B)
h é composta. A função "interna" é x, squared e a função "externa" é cosine, left parenthesis, x, right parenthesis.
(Escolha C)
h não é uma função composta.

Quer praticar mais? Tente resolver este exercício.

Erro comum: confundir função interna e função externa

Mesmo depois de um aluno reconhecer que uma função é composta, ele ainda pode confundir qual é a função interna e a função externa. Isso certamente vai resultar em uma derivada errada.

Por exemplo, na função composta cosine, squared, left parenthesis, x, right parenthesis, a função externa é x, squared e a função interna é cosine, left parenthesis, x, right parenthesis. Os alunos frequentemente se confundem com esse tipo de função e acham que cosine, left parenthesis, x, right parenthesis é a função externa.

Exemplo resolvido de aplicação da regra da cadeia

Vamos ver como a regra da cadeia é aplicada calculando a derivada de h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, 5, minus, 6, x, right parenthesis, start superscript, 5, end superscript. Observe que h é uma função composta:

\begin{aligned} h(x) &= \greenD{\underbrace{(~\goldD{\overbrace{5-6x}^{\text{interna}}~})^5}_{\text{externa}}} \\\\ \goldD{g(x)}&=\goldD{5-6x} &&\text{função interna} \\\\ \greenD{f(x)}&=\greenD{x^5}&&\text{função externa} \end{aligned}

Uma vez que h é composta, podemos calcular a sua derivada usando a regra da cadeia:

start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, open bracket, start color #1fab54, f, left parenthesis, end color #1fab54, start color #e07d10, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, right parenthesis, end color #1fab54, close bracket, equals, start color #11accd, f, prime, left parenthesis, start color #e07d10, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #e07d10, right parenthesis, end color #11accd, dot, start color #ca337c, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c

Descrita verbalmente, a regra diz que a derivada da função composta é a função interna start color #e07d10, g, end color #e07d10 dentro da derivada da função externa start color #11accd, f, prime, end color #11accd, multiplicada pela derivada da função interna start color #ca337c, g, prime, end color #ca337c.

Antes de aplicar a regra, vamos calcular as derivadas das funções interna e externa:

\begin{aligned} \maroonD{g'(x)}&=\maroonD{-6} \\\\ \blueD{f'(x)}&=\blueD{5x^4} \end{aligned}

Agora vamos aplicar a regra da cadeia:

\begin{aligned} &\dfrac{d}{dx}\left[f\Bigl(g(x)\Bigr)\right] \\\\ =&\blueD{f'\Bigl(\goldD{g(x)}\Bigr)}\cdot\maroonD{g'(x)} \\\\ =&\blueD{5(\goldD{5-6x})^4} \cdot \maroonD{-6} \\\\ =&-30(5-6x)^4 \end{aligned}

Pratique aplicar a regra da cadeia

Problema 3.A

Atual

A lista de exercícios 3 guiará você pelas etapas do cálculo da derivada de s, e, n, left parenthesis, 2, x, cubed, minus, 4, x, right parenthesis.

Quais são as funções interna e externa em s, e, n, left parenthesis, 2, x, cubed, minus, 4, x, right parenthesis?

(Escolha A)
A função interna é s, e, n, left parenthesis, x, right parenthesis e a função externa é 2, x, cubed, minus, 4, x.
(Escolha B)
A função interna é 2, x, cubed, minus, 4, x e a função externa é s, e, n, left parenthesis, x, right parenthesis.
(Escolha C)
A função interna é 2, x, cubed e a função externa é minus, 4, x.
(Escolha D)
A função interna é minus, 4, x e a função externa é 2, x, cubed.

Problema 4

Atual

start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, open bracket, square root of, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, end square root, close bracket, equals, question mark

(Escolha A)
minus, start fraction, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, divided by, 2, square root of, s, e, n, left parenthesis, x, right parenthesis, end square root, end fraction
(Escolha B)
start fraction, s, e, n, left parenthesis, x, right parenthesis, divided by, 2, square root of, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, end square root, end fraction
(Escolha C)
start fraction, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, divided by, 2, square root of, s, e, n, left parenthesis, x, right parenthesis, end square root, end fraction
(Escolha D)
minus, start fraction, s, e, n, left parenthesis, x, right parenthesis, divided by, 2, square root of, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, end square root, end fraction

Quer praticar mais? Tente resolver este exercício.

Problema 5

Atual

x	f, left parenthesis, x, right parenthesis	h, left parenthesis, x, right parenthesis	f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis	h, prime, left parenthesis, x, right parenthesis
minus, 1	9	minus, 1	minus, 5	minus, 6
2	3	minus, 1	1	6

G, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, f, left parenthesis, h, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis

G, prime, left parenthesis, 2, right parenthesis, equals

Quer praticar mais? Tente resolver este exercício.

Problema 6

Kátia tentou encontrar a derivada de left parenthesis, 2, x, squared, minus, 4, right parenthesis, cubed. Confira seus cálculos:

Etapa 1: considere start color #1fab54, f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, cubed, end color #1fab54 e start color #e07d10, g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, x, squared, minus, 4, end color #e07d10, então start color #1fab54, left parenthesis, end color #1fab54, start color #e07d10, 2, x, squared, minus, 4, end color #e07d10, start color #1fab54, right parenthesis, cubed, end color #1fab54, equals, start color #1fab54, f, left parenthesis, end color #1fab54, start color #e07d10, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, right parenthesis, end color #1fab54.

Etapa 2: start color #11accd, f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, x, squared, end color #11accd

Etapa 3: a derivada é start color #11accd, f, prime, left parenthesis, end color #11accd, start color #e07d10, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #e07d10, start color #11accd, right parenthesis, end color #11accd:

start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, open bracket, start color #1fab54, left parenthesis, end color #1fab54, start color #e07d10, 2, x, squared, minus, 4, end color #e07d10, start color #1fab54, right parenthesis, cubed, end color #1fab54, close bracket, equals, start color #11accd, 3, left parenthesis, end color #11accd, start color #e07d10, 2, x, squared, minus, 4, end color #e07d10, start color #11accd, right parenthesis, squared, end color #11accd

Os cálculos de Kátia estão corretos? Se não, que erro ela cometeu?

(Escolha A)
Os cálculos de Kátia estão corretos.
(Escolha B)
A etapa 1 está incorreta. left parenthesis, 2, x, squared, minus, 4, right parenthesis, cubed é igual a g, left parenthesis, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, e não a f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis.
(Escolha C)
A etapa 2 está incorreta. A derivada de f não é 3, x, squared.
(Escolha D)
A etapa 3 está incorreta. A derivada não é f, prime, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis.

Erro comum: esquecer de multiplicar pela derivada da função interna

Um erro comum dos alunos é calcular apenas a derivada da função externa, o que resulta em f, prime, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, enquanto a derivada correta é f, prime, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis.

Outro erro comum: calcular f, prime, left parenthesis, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis

Outro erro comum é calcular a derivada de f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis como a composição das derivadas, f, prime, left parenthesis, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis.

Isso também é incorreto. A função que deveria estar dentro de f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis é g, left parenthesis, x, right parenthesis, e não g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis.

Lembre-se: a derivada de start color #1fab54, f, left parenthesis, end color #1fab54, start color #e07d10, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, right parenthesis, end color #1fab54 é start color #11accd, f, prime, left parenthesis, end color #11accd, start color #e07d10, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #e07d10, start color #11accd, right parenthesis, end color #11accd, start color #ca337c, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c. Não é start color #11accd, f, prime, left parenthesis, end color #11accd, start color #e07d10, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #e07d10, start color #11accd, right parenthesis, end color #11accd, nem start color #11accd, f, prime, left parenthesis, end color #11accd, start color #ca337c, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c, start color #11accd, right parenthesis, end color #11accd.