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Cálculo diferencial
Curso: Cálculo diferencial > Unidade 3
Lição 1: Regra da cadeia- Regra da cadeia
- Erros comuns na regra da cadeia
- Regra da cadeia
- Como identificar funções compostas
- Como identificar funções compostas
- Exemplo resolvido: derivada de cos³(x) usando a regra da cadeia
- Exemplo resolvido: derivada de √(3x²-x) usando a regra da cadeia
- Exemplo resolvido: derivada de ln(√x) usando a regra da cadeia
- Introdução à regra da cadeia
- Exemplo resolvido: regra da cadeia com tabela
- Regra da cadeia com tabelas
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Regra da cadeia
A regra da cadeia nos diz como calcular a derivada de uma função composta. Revise seus conhecimentos sobre funções compostas, e aprenda a aplicar a regra da cadeia corretamente.
A regra da cadeia diz:
Ela nos diz como calcular a derivada de funções compostas.
Revisão rápida de funções compostas
Uma função é composta se você puder escrevê-la como f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis. Em outras palavras, é uma função dentro de uma função ou uma função de uma função.
Por exemplo, start color #1fab54, cosine, left parenthesis, end color #1fab54, start color #e07d10, x, squared, end color #e07d10, start color #1fab54, right parenthesis, end color #1fab54 é composta, porque se considerarmos start color #1fab54, f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #1fab54 e start color #e07d10, g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared, end color #e07d10, então start color #1fab54, cosine, left parenthesis, end color #1fab54, start color #e07d10, x, squared, end color #e07d10, start color #1fab54, right parenthesis, end color #1fab54, equals, start color #1fab54, f, left parenthesis, end color #1fab54, start color #e07d10, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, right parenthesis, end color #1fab54.
start color #e07d10, g, end color #e07d10 é a função dentro de start color #1fab54, f, end color #1fab54, então chamamos start color #e07d10, g, end color #e07d10 de função "interna" e start color #1fab54, f, end color #1fab54 de função "externa".
Por outro lado, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, dot, x, squared não é uma função composta. Ela é o produto de f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis por g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared, mas nenhuma das funções está dentro da outra.
Erro comum: não reconhecer se uma função é composta ou não
Geralmente, a única maneira de calcular a derivada de uma função composta é usando a regra da cadeia. Se não reconhecermos que uma função é composta e que a regra da cadeia deve ser aplicada, não seremos capazes de calcular a derivada corretamente.
Por outro lado, aplicar a regra da cadeia em uma função que não seja composta também resultará em uma derivada errada.
Especialmente com funções transcendentais (por exemplo, funções trigonométricas e logarítmicas), os alunos muitas vezes confundem composições como natural log, left parenthesis, s, e, n, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis com produtos como natural log, left parenthesis, x, right parenthesis, s, e, n, left parenthesis, x, right parenthesis.
Quer praticar mais? Tente resolver este exercício.
Erro comum: confundir função interna e função externa
Mesmo depois de um aluno reconhecer que uma função é composta, ele ainda pode confundir qual é a função interna e a função externa. Isso certamente vai resultar em uma derivada errada.
Por exemplo, na função composta cosine, squared, left parenthesis, x, right parenthesis, a função externa é x, squared e a função interna é cosine, left parenthesis, x, right parenthesis. Os alunos frequentemente se confundem com esse tipo de função e acham que cosine, left parenthesis, x, right parenthesis é a função externa.
Exemplo resolvido de aplicação da regra da cadeia
Vamos ver como a regra da cadeia é aplicada calculando a derivada de h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, 5, minus, 6, x, right parenthesis, start superscript, 5, end superscript. Observe que h é uma função composta:
Uma vez que h é composta, podemos calcular a sua derivada usando a regra da cadeia:
Descrita verbalmente, a regra diz que a derivada da função composta é a função interna start color #e07d10, g, end color #e07d10 dentro da derivada da função externa start color #11accd, f, prime, end color #11accd, multiplicada pela derivada da função interna start color #ca337c, g, prime, end color #ca337c.
Antes de aplicar a regra, vamos calcular as derivadas das funções interna e externa:
Agora vamos aplicar a regra da cadeia:
Pratique aplicar a regra da cadeia
Quer praticar mais? Tente resolver este exercício.
Quer praticar mais? Tente resolver este exercício.
Erro comum: esquecer de multiplicar pela derivada da função interna
Um erro comum dos alunos é calcular apenas a derivada da função externa, o que resulta em f, prime, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, enquanto a derivada correta é f, prime, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis.
Outro erro comum: calcular f, prime, left parenthesis, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis
Outro erro comum é calcular a derivada de f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis como a composição das derivadas, f, prime, left parenthesis, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis.
Isso também é incorreto. A função que deveria estar dentro de f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis é g, left parenthesis, x, right parenthesis, e não g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis.
Lembre-se: a derivada de start color #1fab54, f, left parenthesis, end color #1fab54, start color #e07d10, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, right parenthesis, end color #1fab54 é start color #11accd, f, prime, left parenthesis, end color #11accd, start color #e07d10, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #e07d10, start color #11accd, right parenthesis, end color #11accd, start color #ca337c, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c. Não é start color #11accd, f, prime, left parenthesis, end color #11accd, start color #e07d10, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #e07d10, start color #11accd, right parenthesis, end color #11accd, nem start color #11accd, f, prime, left parenthesis, end color #11accd, start color #ca337c, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c, start color #11accd, right parenthesis, end color #11accd.
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- Esclareceu bastante as minhas dúvidas sobre a regra da cadeia.(6 votos)
- tinham que prender quem inventou isso(1 voto)
- tinham que... botar na cadeia(3 votos)