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Cálculo diferencial
Curso: Cálculo diferencial > Unidade 3
Lição 1: Regra da cadeia- Regra da cadeia
- Erros comuns na regra da cadeia
- Regra da cadeia
- Como identificar funções compostas
- Como identificar funções compostas
- Exemplo resolvido: derivada de cos³(x) usando a regra da cadeia
- Exemplo resolvido: derivada de √(3x²-x) usando a regra da cadeia
- Exemplo resolvido: derivada de ln(√x) usando a regra da cadeia
- Introdução à regra da cadeia
- Exemplo resolvido: regra da cadeia com tabela
- Regra da cadeia com tabelas
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Exemplo resolvido: derivada de cos³(x) usando a regra da cadeia
f(x)=cos³(x) é uma composição das funções x³ e cos(x), e, portanto, podemos derivá-la usando a regra da cadeia.
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- Por que o resultado final não é 3cos²x -sinx ?(2 votos)
- Veja bem, a derivada de uma função composta u(v(x)) é dada como sendo u'(v(x)).v'(x). Isso significa que a derivada da função "de dentro" é colocada como produto, e não somada.
No começo, isso pode causar confusão, já que a derivada de um produto de funções, por exemplo, d[u(x).v(x)]/dx é dada como sendo u'(x).v(x) + u(x).v'(x), mas é importante notar que são situações distintas. Espero que tenha sido útil.(2 votos)
- f(u)=sim(cós(u)+In(sim(u))(1 voto)
Transcrição de vídeo
RKA8JV - Vamos dizer que
nós temos a função f(x) = cos³x. Nós também poderíamos
escrever esta função como sendo (cosx)³. O que nós queremos fazer aqui,
neste vídeo, é encontrar f'(x), ou seja, a derivada
da função em relação a "x". Para fazer isso, nós podemos
utilizar a regra da cadeia, e nós vamos ver como ela vai ser
muito útil para resolver esse problema. Bem, antes de começar a resolver isso, vamos relembrar um pouco sobre
como que é a regra da cadeia, que inclusive você pode encontrar
em diversos livros de cálculo. Bem, o que nós temos aqui
é uma função composta, certo? Já que nós temos uma função que está
sendo elevada à terceira potência. Lembre-se que não é apenas um "x" que
nós estamos elevando à terceira potência, nós estamos elevando
à terceira potência o cos(x), ou seja, nós estamos tomando uma função, que você pode ver que é o cos(x), e aí nós colocamos uma outra função que eleva este cosseno de "x" ao cubo. Então, como nós temos
uma função de uma função, nós temos uma função composta. Você poderia ver isso aqui
como uma função, e nós vamos chamar esta função aqui azul de função "v" e chamar esta outra função de "u". Se nós estamos tomando u(x) na entrada, ou como a entrada para a função "v", esta é a saída bem aqui. Este vai ser "v(u(x))". Uma outra forma de reescrever
esta função, na verdade, a gente pode reescrever
isto de várias maneiras, é que isso aqui é a mesma coisa
que v(cos(x)). Então, como este "v" é apenas
uma entrada para esta função, basta a gente elevar este
v(x) à terceira potência. Então, esta função "v" aqui, a única coisa que ela faz é elevar
a função à terceira potência, ou seja, se você fosse escrever uma função v(x), nós teríamos um "x"
elevado à terceira potência. A função u(x) nada mais é
do que o cos(x). Então a função "u" toma o cosseno de alguma coisa, que, neste caso, vai ser o cos(x). E a função "v" eleva
qualquer coisa ao cubo, e neste caso vai elevar
o cos(x) ao cubo. Agora observando isso, como que nós poderíamos tomar
a derivada desta função composta? Bem, para fazer isso nós vamos
utilizar a regra da cadeia. Só para ficar claro aqui, podemos escrever uma função f(x)
sendo igual a v(u(x)). Eu sei que eu estou dizendo
a mesma coisa que eu já falei, mas eu estou falando isso agora
de uma forma ligeiramente diferente, porque se é a primeira vez que
você está aprendendo isto, pode ser um pouco difícil de entender, por isso, eu vou tentar escrever essas
funções de diversas maneiras diferentes. Então, vamos ver como nós podemos
derivar esta função aqui utilizando a regra da cadeia. Bem, se nós temos aqui f'(x), que é a derivada da função f(x), nós vamos ter que tomar
a derivada de tudo isto aqui, então, f'(x) vai ser igual à derivada
desta função composta, e isto, então, vai ser igual
à derivada da função de fora, a derivada de v(u(x)), vezes a derivada da função interna, ou seja, u'(x). Esta aqui é a expressão
para a regra da cadeia. Então como podemos avaliar
tudo isso neste caso? Bem, o que nós temos que fazer aqui agora é determinar a derivada de "v(u(x))" e em seguida, a derivada de u(x). Uma coisa que nós temos
que relembrar aqui, que a função "v" é apenas uma função que eleva as coisas à terceira
potência, certo? Então, vamos determinar
a derivada desta função. Eu vou escrever isso aqui utilizando
uma notação diferencial, tudo bem? Mas você pode ver isso como
uma derivada tranquilamente. Eu gosto de escrever de forma diferentes porque assim você consegue ter uma
visão mais ampla sobre o mesmo assunto. Então, vamos lá, a gente vai ter
aqui a derivada de v(x), então, a derivada de "v"
em relação a "u", que é esta coisa bem aqui, vezes a derivada de "u"
em relação a "x". Como eu já disse, é legal você
ver todas essas notações para ficar familiarizado com todas elas, já que você pode ver essas diferentes
notações em diferentes livros. Agora que já vimos essas
notações e tudo isso, eu sei que você já deve estar
até um pouco cansado de ficar imaginando tudo isso, ou seja, falando muitas coisas abstratas. Então vamos ver realmente como
que a gente pode calcular isso. A gente vai querer aqui a derivada de "v"
em relação a "u", então, eu vou reescrever este "v" aqui de
uma outra maneira e este "u" também. Nós temos que lembrar que "v"
é o (cosx)³, certo? Então, nós vamos tomar a derivada
de "v" em relação a "u", então, nós temos a derivada do (cosx)³, em relação à derivada de "u", e "u" é apenas o cos(x), e vamos multiplicar isto
com a derivada de "u", lembrando que "u" é o cos(x), em relação a "x". Nós já sabemos qual é
a derivada do cos(x), certo? Nós já vimos isso antes. A derivada em relação a "x" do cos(x)
vai ser igual a -sen(x). Então isso daqui, esta parte à direita, é tudo aqui igual a -sen(x). É muito legal você fica familiarizado com as derivadas dessas funções
trigonométricas mais simples, ok? Bem, agora vamos tomar
aqui a derivada do (cosx)³, só que agora vamos fazer isso
em relação ao cos(x), tudo bem? Bem, agora o que esta
coisa aqui significa? Se eu estivesse tomando a derivada, deixe-me escrever aqui, a derivada de x³ em relação a "x", isto aqui vai ser igual, o que a gente vai ter
que fazer aqui? A gente vai colocar este
expoente à frente, vezes o x². Ok, a noção mais geral
que nós temos aqui é que se nós estamos tomando
a derivada de alguma coisa e não importa o que seja, por exemplo, a gente poderia estar tomando aqui
a derivada deste círculo laranja, deste círculo laranja elevado
à terceira potência. Sendo assim, isto aqui vai ser 3 vezes o círculo laranja
elevado ao quadrado. Então, se a gente pega derivada de
alguma coisa elevada ao cubo em relação a essa coisa, isso vai ser igual a 3 vezes essa coisa
elevada ao quadrado. E aqui no nosso caso, se a gente quer
a derivada do (cosx)³ em relação ao cos(x), isso vai ser igual a 3 vezes o (cosx)². Ok, depois de todo esse trabalho, e eu sei que dá muito trabalho fazer isso, se nós queremos tomar aqui
a derivada da função f(x), que é igual ao (cosx)³, a regra da cadeia nos diz que nós devemos tomar
a derivada do (cosx)³ em relação ao cos(x) vezes a derivada do cos(x)
em relação a "x". Isto aqui vai ser, então, igual a -3
vezes o sen(x) vezes o cos²x. Eu sei, foi um caminho muito longo, mas eu estou aproveitando este problema para explicar a regra da cadeia para você, que, basicamente, diz que para gente calcular a derivada
de uma função composta basta calcular a derivada
da função externa e multiplicar com a derivada
da função interna. Dessa forma, a gente vai tratar esse
cos(x) como se fosse um "x". Fazendo isso e calculando
a derivada, nós vamos ter 3 vezes o (cosx)². E esta outra parte, que é
a derivada da função interna, nós vamos fazer em relação a "x", e isso aqui vai ser igual a -sen(x).