Manipulação de funções antes de derivar

Oi e aí pessoal tudo bem nessa aula nós vamos fazer algumas manipulações algébricas que nos ajudam a resolver uma derivada e nós temos aqui as fórmulas de algumas derivadas e se você não lembra de uma delas eu sugiro que você deu uma revisada nesses conteúdos e eu posso até relembrar aqui essa primeira é a regra da potência Ou seja quando queremos derivar em relação a x algo elevado a uma potência nós pegamos esses pões e jogamos para frente do X ficando com ele aqui e ele e vamos esse x a n - 1 essa regra é muito utilizada Principalmente quando queremos derivar polinômios e essa segunda é a regra do produto para derivadas Ou seja a derivada em relação a x de f de x e g de X = derivada da primeira função que fdx vezes gdx mas fdx a derivada da segunda função que a GTX essa terceira é a regra do quociente que diz que a derivada em relação a x de f de x dividido por g de X = derivada da função que está no numerador vezes a função está no denominador menos a função que está no numerador vezes a derivada da função que está no denominador e nós dividimos isso pela função que está no denominador elevando ao quadrado se você perceber isso é quase a mesma coisa que está aqui a diferença está no sinal e também não cons nós temos uma outra função dividindo aqui né mas claro dependendo da função que você tem aqui você pode até inverter ela transformando em um produto e assim fica mais fácil de se calcular e por fim nós temos a regra da cadeia então se você não lembra de uma dessas Regras eu sugiro que você deu uma revisada porque o que vamos fazer nessa aula é tentar achar estratégias a fim de facilitar elas Ok vamos dizer que nós temos aqui a derivada em relação a x de x ao quadrado mais x menos 2 / x - 1 E aí eu te pergunto pode dessas regras nós podemos utilizar para resolver essa derivada intuitivamente você pode estar pensando espera aí eu tenho duas funções que estão se dividindo eu tenho essa função f de sim e tenho uma outra função que eu posso chamar de jessin O que significa que podemos utilizar a regra do quociente sim eu até posso eu poderia aplicar essa fórmula aqui na minha derivada e encontraríamos a resposta correta mas dessa forma isso ia demorar muito porque nós podemos fazer inicialmente é simplificar essa expressão e o que podemos fazer simples mas podemos fatorar o polinômio x ao quadrado mais x menos 2 escrevendo ele como fiz mais dois e multiplica x - 1 e com isso nós podemos cancelar esse x menos 1 com esse x menos 1 ficando com a derivada em relação a x e mais dois e agora é muito mais fácil de levar essa função Nós não precisamos mais utilizar a regra do consciente ou seja basta derivar sim que é igual a um mais a derivada de 2 que 0 ficando apenas com um basicamente só foi necessário derivar esse x utilizando a regra da potência é muito mais fácil do que utilizar essa regra do consciente né vamos fazer mais um exemplo vamos dizer que nós temos aqui a derivada em relação a x da função x ao quadrado + 2x - 5 / cheio de novo você pode usar a regra do consciente Mas será que existe alguma manipulação algébrica que podemos fazer aqui de modo que fique mais fácil e o que você pode fazer é inverter esse xixi e com isso essa expressão pode ser reescrita como x ao quadrado + 2x - 5 que multiplica X elevado a menos 1 e aí você pode até utilizar a regra do produto aqui mas tem uma simplificação ainda melhor o que você pode fazer é aplicar a distributiva aqui e aí vamos ter X elevado a menos 1 que multiplica x ao quadrado vai ser igual a x elevado a menos 1 vezes 2 x vai ser igual a 2 e x elevado a menos 1 vezes menos cinco vai ser igual a menos 5 x x elevado a menos 1 mais claro ao invés de inverter o x Você poderia pegar cada um desses o e dividir pelo X ficando com isso aqui ou seja x ao quadrado dividido por fim da x 2 x / x tá dois e menos cinco dividido por x daria menos cinco dividido por x e aí sim nós invertemos ficando com isso aqui e agora sim de terminar essa derivada fica muito mais fácil do que utilizar a regra do quociente ou a regra da potência como isso aqui é uma expressão polinomial nós podemos derivar cada uma dessas partes individualmente e derivando nós vamos ter que a derivada de x é um a derivada de dois vai ser re0 e nessa parte nós podemos aplicar a regra da potência esse expoente que ao menos um vem para frente o multiplicando o 15 e aí vamos ficar com mais 5 x x elevado a menos 1 menos um que vai dar menos dois e essa é importância de simplificar as coisas você ganha muito tempo na hora de resolver uma derivada vamos ver mais alguns exemplos só pagar isso aqui e vamos dizer que eu tenho aqui a derivada em relação a x de raiz quadrada de x sobre x ao quadrado e eu sugiro que você pode o vídeo e tente resolver isso sozinho então vamos lá de cara você olha para essa expressão e pensa eu posso utilizar a regra do quociente não é sim você pode mas vai dar muito trabalho O ideal seria você reinscrever essa expressão aqui e invertendo esse x ao quadrado ficando col X elevado a menos 2 que multiplica a raiz quadrada de x aí é só utilizar a regra do produto aqui né mas eu acho que ainda podemos simplificar um pouco mais Note que temos uma raiz quadrada e isso significa que podemos reescrever como X elevado a menos 2 e multiplica X elevado a meio Ou seja eu reescrevi a raiz quadrada e agora nós temos uma multiplicação de potências com a mesma base O que significa que nós devemos repetir a base e somar os expoentes e menos dois de mais de meio = - 3 e meio e agora sim podemos resolver a derivada em relação a x dessa expressão e olhando para ela nós podemos utilizar a regra da potência E aí vamos ficar com esse três meios vindo pra frente multiplicando o x ou seja menos três meios e multiplica x e pegamos esse expoente e subtraímos de um ficando com menos cinco meios ou seja antes de começar resolvendo alguma derivada utilizando uma dessas regras o ideal é ver se tem alguma simplificação ou seja se podemos faturar algo se podemos fazer uma simplificação trigonométrica algo que vai tornar as coisas menos complicadas a dica que eu te dou é sempre que for fazer um exercício ou uma prova Principalmente quando estiver utilizando a regra do quociente de uma respirar o e veja se tem como simplificar as coisas né o Finn não vamos fazer um último exemplo o que é resolver a derivada em relação a x de 1 sobre 2x menos cinco de novo nós podemos utilizar a regra do quociente Mas será que nós podemos simplificar a expressão sim o que nós podemos fazer é reescrever isso aqui invertendo ou seja colocar a derivada em relação a x escrevendo a função como 2 x - 5 elevado a menos 1 e nessa parte você pode utilizar uma combinação da regra da potência e da regra da cadeia Ou seja você tem uma função aqui externa e tem essa função aqui que é interna e aplicando a a cadeia você deve derivar a função de Fora colocando a função de dentro e derivando a função de Fora esse menos um vem para frente multiplicando a expressão Então vamos ficar com menos e multiplica 2 x - 5 elevado a menos 2 isso porque eu fiz -1 -1 que é a regra da potência e nós devemos multiplicar pela derivada da função interna ou seja multiplicar pela derivada dessa função e a derivada de 2x vai ser dois e a derivada de menos cinco a zero então multiplicamos por 2 e você pode até multiplicar esse dois pelo sinal negativo e ajeitar isso aqui um pouco mais né mas daria muito mais trabalho se você utilizar essa regra do consciente eu tinha até o que era último exemplo mas eu vou colocar mais um aqui eu juro que é o último tá vamos fazer aqui a derivada em relação a x de 2x mais 1 ao quadrado eu sugiro que você pause o vídeo e tem resolver sozinho vamos lá então nesse caso você pode utilizar a regra da cadeia ou seja nós derivamos a função externa pegando esse dois jogando para frente da função Então vamos ficar com dois e multiplica 2x mais 1 elevado a 1 ou seja eu fiz essa parte da regra da cadeia combinada com a regra da potência e multiplicamos isso pela derivada da função interna e nesse caso é a derivada de 2x mais 1 e a derivada disso vai ser dois então um dois e se multiplicarmos 2 vezes 2 vai ser igual a 4 bom então quatro vezes 2x mais 1 e podemos aplicar a distributiva aqui ficando com oito x + 4 e essa é uma maneira de resolver isso mas existem outras uma delas é expandir essa expressão utilizando o produtos notáveis E aí vamos ter a derivada em relação a x disso aqui ao quadrado que pode ser resolvido com o produto notável ou seja o quadrado do primeiro termo que vai dar 4x ao quadrado mais duas vezes o primeiro vezes o segundo e vai dar 4x mais o segundo ao quadrado que vai ser igual a um Agora sim você tem essa expressão e você pode utilizar a regra da potência para resolver lá se você fizer isso você vai ter esse mesmo resultado bom então de novo a minha dica é assim que for resolver uma derivada dá uma respirada olha com calma veja se você não pode fazer alguma manipulação para tornar a resolução mais fácil Principalmente quando estamos utilizando a regra do quociente mas eu espero que as aula tenha te ajudado e até a próxima pessoal