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Derivação com várias regras: estratégia

Como analisar a estrutura de uma expressão elaborada para determinar qual das regras de derivação usar e (não menos importante) em que ordem aplicá-las.

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Transcrição de vídeo

RKA3JV - E aí, pessoal! Tudo bem? Nesta aula, nós vamos ver diferenciação utilizando regras diferentes. E, para isso, eu tenho duas expressões aqui. E eu sugiro que você pause o vídeo e tente determinar a derivada desta aqui e ver se o mesmo método funciona para esta aqui. Ok, vamos lá! O objetivo desta aula não é resolver por completo estas duas derivadas, mas pensar em quais estratégias utilizar. Portanto, eu vou pensar em como resolver esta derivada aqui primeiro. E observe que nós temos uma expressão bastante complexa aqui, mas que se você olhar para ela pensando que é o seno de alguma coisa, fica mais fácil. Ou seja, o seno disso aqui. E esta expressão interna eu vou circular de rosa. Ou seja, queremos saber a derivada em relação a "x" do seno desta coisa que eu estou colocando em rosa. Bem, olhar a função deste jeito fica mais fácil de ver que, neste caso, o ideal é utilizar a regra da cadeia. E como podemos fazer isso? Simples, nós fazemos a derivada da função externa com relação a isso tudo aqui de dentro, vezes a derivada disso em relação a "x". Deixe-me escrever isso aqui para não ficar tão confuso. Basicamente, o que estamos fazendo é retirar a derivada em relação a esta coisa que eu estou colocando aqui com o círculo rosa e que representa tudo isto aqui, do seno desta expressão em rosa que eu posso representar por este círculo em rosa, e multiplicamos isso pela derivada em relação a "x" deste círculo rosa. Ou seja, nós aplicamos a regra da cadeia. Ou seja, não importa o que esteja aqui dentro do seno, pode ser uma função logarítmica, uma função raiz bem complexa, nada disso importa. Mas o melhor caminho a seguir é utilizar a regra da cadeia. Então, só para não ficar tão confuso, no lugar do círculo eu vou colocar esta expressão aqui. Então, nós vamos ter a derivada do seno em relação a expressão em rosa, que vai ser o cosseno de tudo isso. Ou seja, x² + 5 que multiplica o cosseno de "x" vezes a derivada em relação a "x" desta expressão em rosa que é esta aqui. Então, a derivada em relação a "x" de x² + 5 vezes o cosseno de "x". E ainda falta nós derivarmos esta parte. E observe que nós temos uma função aqui e outra função aqui. O que nos mostra que nós temos que utilizar a regra do produto. Mas, claro, eu não vou resolver esta derivada. Eu só quero mostrar para vocês que é muito importante pensar em uma estratégia correta na hora de resolver uma derivada. E eu sugiro que você termine de resolver isso aqui. Agora, vamos olhar este outro exemplo. Será que ele representa a mesma coisa que este? Aqui nós só tínhamos duas etapas. E em quantas etapas nós podemos calcular esta derivada? Note que nós temos esta função que multiplica esta função. Então, o ideal é utilizar a regra do produto. Se fosse uma divisão, eu utilizaria a regra do quociente. Enfim, é importante você conhecer todas as regras de derivação. E aplicando a regra do produto, nós vamos ter a derivada em relação a "x" da primeira função vezes a segunda função, mais a primeira função vezes a derivada em relação a "x" da segunda função. E, de novo, aqui eu só apliquei a regra do produto, mas eu não vou resolver. Eu sugiro que você substitua esta expressão aqui e aqui. E este cosseno de "x" aqui e aqui. Enfim, o objetivo desta aula é mostrar a importância de traçar uma estratégia correta na hora de resolver uma derivada. E aqui só tivemos um passo. Eu espero que esta aula tenha lhes ajudado. E até a próxima, pessoal!