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Cálculo diferencial
Curso: Cálculo diferencial > Unidade 3
Lição 4: Diferenciação implícita (exemplos avançados)- Diferenciação implícita (exemplo avançado)
- Diferenciação implícita (exemplo avançado)
- Diferenciação implícita (exemplo avançado)
- Derivada de ln(x) a partir da derivada de 𝑒ˣ e diferenciação implícita
- Revisão da diferenciação implícita
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Derivada de ln(x) a partir da derivada de 𝑒ˣ e diferenciação implícita
Como você pode calcular a derivada de ln(x) visualizando-a como a inversa de e^x? Versão original criada por Sal Khan.
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Transcrição de vídeo
[RKAC] Nós sabemos que a derivada
em relação a x de eˣ é eˣ. Isso é uma das derivadas
mais bonitas da matemática. Agora, qual seria a derivada
da sua função inversa? Ou seja, do logaritmo natural de x
em relação a x? Nós sabemos que,
se chamarmos y de ln x, isso significa que eʸ = x. Então, podemos dizer que
eˡⁿˣ = x. Uma vez que ln x
é o próprio y, e eʸ = x, então, eˡⁿˣ é
o próprio x. Partindo desse princípio,
por meio da expressão eʸ = x, vamos derivar de ambos os lados em relação a x: dx, e, aqui também,
derivada de x em relação a x. Aqui, pela regra da cadeia, nós temos que a derivada de
e elevado a qualquer coisa é o próprio e
elevado a qualquer coisa. Então, isso é eʸ,
vezes dy/dx. Deste lado, a derivada de x
em relação a x é 1. Então, ficamos com dy/dx = 1/eʸ. Ora, mas quem é eʸ?
eʸ é o próprio x. Portanto, ficamos com
dy/dx = 1/x. Ora, quem é o nosso y?
y é ln x. Portanto, podemos deduzir que
d[ln x]/dx = 1/x. Isso é bastante interessante, porque 1/x,
podemos escrever como x⁻¹. Ou seja, d[ln x] vai dar x⁻¹, o que faz com que
possamos integrar x⁻¹. Quando nós temos x⁻¹, se formos usar a regra da potência, temos que aumentar
a potência em uma unidade e dividir por ela
aumentada em uma unidade. Então, a integral de x⁻¹
seria x¹ ⁺ ⁽⁻¹⁾, seria x⁰,
sobre 1 - 1, que seria 0. Ou seja, não chegamos,
pela regra da potência, nessa integral, mas podemos dizer
que a integral de 1/x vai ser ln x. Isso é bastante interessante, e espero que este vídeo
tenha sido útil!