Derivada de ln(x) a partir da derivada de 𝑒ˣ e diferenciação implícita

[RKAC] Nós sabemos que a derivada em relação a x de eˣ é eˣ. Isso é uma das derivadas mais bonitas da matemática. Agora, qual seria a derivada da sua função inversa? Ou seja, do logaritmo natural de x em relação a x? Nós sabemos que, se chamarmos y de ln x, isso significa que eʸ = x. Então, podemos dizer que eˡⁿˣ = x. Uma vez que ln x é o próprio y, e eʸ = x, então, eˡⁿˣ é o próprio x. Partindo desse princípio, por meio da expressão eʸ = x, vamos derivar de ambos os lados em relação a x: dx, e, aqui também, derivada de x em relação a x. Aqui, pela regra da cadeia, nós temos que a derivada de e elevado a qualquer coisa é o próprio e elevado a qualquer coisa. Então, isso é eʸ, vezes dy/dx. Deste lado, a derivada de x em relação a x é 1. Então, ficamos com dy/dx = 1/eʸ. Ora, mas quem é eʸ? eʸ é o próprio x. Portanto, ficamos com dy/dx = 1/x. Ora, quem é o nosso y? y é ln x. Portanto, podemos deduzir que d[ln x]/dx = 1/x. Isso é bastante interessante, porque 1/x, podemos escrever como x⁻¹. Ou seja, d[ln x] vai dar x⁻¹, o que faz com que possamos integrar x⁻¹. Quando nós temos x⁻¹, se formos usar a regra da potência, temos que aumentar a potência em uma unidade e dividir por ela aumentada em uma unidade. Então, a integral de x⁻¹ seria x¹ ⁺ ⁽⁻¹⁾, seria x⁰, sobre 1 - 1, que seria 0. Ou seja, não chegamos, pela regra da potência, nessa integral, mas podemos dizer que a integral de 1/x vai ser ln x. Isso é bastante interessante, e espero que este vídeo tenha sido útil!