Diferenciação implícita (exemplo avançado)

RKA3JV - E aí, pessoal. Tudo bem? Nesta aula, nós vamos ver um exercício a respeito de derivada de uma função implícita. E nós já até falamos a respeito deste tipo de função, que é uma função meio complicada, não é? E eu coloquei aqui até o gráfico desta função e você pode ver que o gráfico é meio bizarro, não é? E a primeira coisa que eu vou fazer é aplicar a derivada em ambos os membros desta equação. E eu vou ficar com a derivada da função em relação a "x" disto aqui. Mas eu vou colocar uma outra notação que eu acho que vai ficar melhor. Essa é a hora de apresentar essa notação. Eu posso, simplesmente, colocar o operador de derivada que é um "D" maiúsculo. Então, um "D" maiúsculo aqui, e um "D" maiúsculo aqui. Então, deixando bem claro, este operador de derivada é a mesma coisa que a derivada da função em relação a "x". E uma outra coisa que eu vou fazer aqui também é, em vez de colocar a derivada de "y" em relação a "x", eu vou colocar somente y'. Claro, isso é importante para praticarmos com outras notações, não é? Então, primeiro, nós vamos tomar a derivada disso aqui e fazemos isso aplicando a regra da cadeia. Isso significa que nós vamos pegar a derivada de "e" elevado a alguma coisa com relação a essa alguma coisa, vezes a derivada dessa coisa com relação a "x". Como assim? A derivada de "e" elevado a essa alguma coisa que, neste caso, é "x" vezes "y" ao quadrado, vezes a derivada desta coisa, que é "x" vezes "y" ao quadrado. E no lado direito nós vamos ter a derivada de "x" que é 1, e a derivada de "y" em relação a "x" é y'. Isso porque a derivada de "y" em relação a "x" é igual a y'. Claro, eu estou utilizando outra notação. Mas, na verdade, eu gosto mais desta e desta aqui, porque fica mais claro que eu estou derivando em relação a "x". Enquanto aqui, nós temos que assumir que estamos derivando em relação a "x". E aqui temos que assumir que esta é a derivada de "y" em relação a "x". Mas, enfim, nesta aula só estou utilizando esta notação para você ver que ela existe também. Deixe-me colocar esta derivada de "y" em relação a "x" em rosa aqui para separar da outra que estamos derivando, a função em relação a "x". Então, vamos ficar com "e" elevado a "x" vezes "y" ao quadrado, vezes a derivada disso aqui. E para derivar isso, utilizamos a regra do produto e a regra da cadeia. E aí, vamos ficar com a derivada de "x" que é igual a 1, vezes a segunda função, que é y², e somamos isso com o produto da primeira função, com a derivada da segunda função em relação a "x", que vai ser 2y vezes a derivada de "y" com relação a "x", que, neste caso, é y'. Lembrando que aqui nós estamos derivando "y" em relação a "x" e, por isso, utilizamos a regra da cadeia ficando com isso aqui. Isto vai ser igual a 1 - y'. O que temos que fazer, neste momento, é resolver esta equação para encontrar a derivada de "y" em relação a "x". E se aplicarmos a distributiva aqui, nós vamos ficar com y² que multiplica "e" elevado a "x" vezes "y" ao quadrado, mais 2xy que multiplica "e" elevado a xy² vezes y'. E isto vai ser igual a 1 menos a derivada de "y" em relação a "x" que é y'. E aqui nós podemos subtrair ambos os membros desta equação por y² vezes "e" elevado a xy². Também podemos somar a ambos os membros desta equação y'. E aí, vamos ficar com 2 vezes "x" vezes "y" vezes "e" elevado a xy² que multiplica y', mais y' igual a 1 - y² vezes "e" elevado a xy². E podemos colocar este y' em evidência, ficando com y' que multiplica 2xy vezes "e" elevado a "x" vezes y² + 1. Note que se você fizer esta multiplicação, você volta para esta parte. Isso vai ser igual a 1 - y² vezes "e" elevado a xy². Agora, sim, eu posso dividir ambos os membros desta equação por isso aqui. E aí, eu vou ficar com y' igual a 1 - y² vezes "e" elevado a xy² dividido por 2xy vezes "e" elevado a "xy² + 1". Pronto, encontramos a derivada de "y" em relação a "x". Eu espero que esta aula tenha lhes ajudado. E até a próxima, pessoal!