Diferenciação implícita (exemplo avançado)

mais uma vez a gente tem uma dessas expressões aqui meio malucas relacionando x e um y e pra gente ter uma noção aqui do que essa relação entre xy representa eu pilotei o gráfico aqui dessa relação usando o wolphram alpha e os pontos aqui xy que satisfazem essa relação eles formam esse desenho que lembra um pouco um trevo de quatro folhas né então o que a gente quer fazer aqui nesse vídeo é achar a taxa de variação de y em relação à x então a gente quer fazer a derivada de y em relação à x entretanto a gente vai derivar isso aí de maneira implícita então a gente vai fazer é derivada implícita à i&d y em relação à x então pra gente fazer isso vamos lá vamos tirar aqui o operador diferencial aqui dos dois lados então vou tirar de the x do lado de cá nessa expressão e vamos passar o operador diferencial do lado de cá também de xis aqui nessa expressão então pra fazer isso aqui como a gente quer que ele vá em relação à x aqui a gente vai ter que usar a regra da cadeia vamos lá vamos começar isso aqui ó primeiro a gente tem essa expressão aqui e essa expressão aqui ela está elevado ao cubo então a gente vai ter que levar essa expressão aqui em relação a ela mesmo e depois fazer derivada dessa expressão em relação à x o primeiro essa expressão aqui ao cubo a derivada dela em relação a ela vai tombar ou 3 e vai diminuir um expoente então vai ficar três vezes x quadrado mais y quadrado que é o que está ali dentro elevado agora a 3 - 2 a 3 - 1 fica dois né então diminui um aqui nos quente então três vezes quadrado mas está enquadrado ao quadrado agora a gente tem que pegar essa expressão que está aqui dentro e derivados em relação à x então isso aqui vai ficar vezes isso aqui vai dar a derivada isso aqui em relação à x então x quadrado a derivada x quadrado em relação à x 2 x 1 mas agora pra gente fazer derivada de y quadrado em relação à x a gente vai ter que usar de novo a regra da cadeia primeiro a gente vai derivar y quadrado em relação à y e depois a gente vai derivar y em relação à x então a derivada de y quadrado em relação à y vai fazer o tombo vai ficar dois ippons e agora a gente vai multiplicar pela derivada de y em relação à x vai ficar de y de xis aqui y x o derivado de y em relação à x pronto isso aqui tudo vai ser igual tá igual bom o que nós vamos ter que agora a gente vai fazer é derivada dessa expressão que está desse lado aqui ó a derivada dessa expressão aqui vai ficar bom os cinco aqui a gente já pode jogar aqui pra fora é uma constante então ele sai para fora da elevada então posso escrever que vai dar 5 5 vezes e vamos ver o que vai dar aqui dentro agora agora aqui dentro a gente vai ter a regra do produto é para usar aqui é uma multiplicação x quadrado vezes um quadrado a regra do produto já foi o seguinte ó vamos colocar aqui vamos chamar esse cara aqui de primeiro termo né nosso primeiro tema do produto e aqui a gente vai ter um segundo termo então esse cara que eu vou chamar de segundo tempo então como é que fica a nossa regra do produto aqui vamos lá isso aqui vai ficar assim o primeiro termo eu faço a derivada do primeiro vezes o segundo tão segundo só copia e o primeiro perigo então vai ficar derivada de 2 x quadrado que dá 2 x vezes aí os eu copio segundo y quadrado beleza mas agora ele vai fazer o contrário a gente vai derivar o segundo e vai copiar o primeiro então vai ficar x quadrado só copia x quadrado que o primeiro e agora voltei e vai passar um quadrado mas eu já fiz isso né a derivada de y quadrado deu dois yby deixes então isso aqui vai ficar dois hippies long de y deixe-se legal a gente vai ter que manipular que essa equação porque a gente quer encontrar aqui é de y dx né então vamos fazer isso primeiro que eu vou fazer aqui agora é fazer a distribuição aqui ó então vamos pegar essa parte roxa aqui e distribuir então vai ficar este pedaço aqui vezes 2 x 1 vai ficar três vezes 2 x vai ficar 6 x vezes x quadrado mais y quadrado isso tudo é levado ao quadrado tá mas agora vai ficar esse pedaço roxo vezes isso aqui é bom como é que vai ter de y deixe seu escrever de verde a gente ficar não fica mais fácil a gente separar essas coisas depois então três vezes dois hippies não vai ficar sem y vezes agora x quadrado mais y quadrado elevada ao quadrado e aqui vai ter um de y deixes vamos lá isso aqui vai ser igual à do outro lado também vou fazer distributiva que agora então vamos fazer distributiva que agora esse aqui e aqui então primeiramente vai ficar cinco vezes essa expressão aqui então cinco vezes 2 da 10a que vai ficar 10 x y quadrado mas de novo aqui vai ter de y dx vamos escrever verde também escrevi aqui de verde vai ficar cinco vezes 2 ac 10 não vai ficar 10 x quadrado em y e aqui a gente tem de y y não ficou legal y e x beleza bom já está bem melhor agora pra gente comer continuar é o que eu vou fazer aqui agora pra gente começar a deixar de se defender x do mesmo lado então eu vou passar esse cara para o lado de cá e vou passar essa expressão para o lado de lá ea gente vai ficar com depressão destes um lado sou né então é como se a gente fizesse o seguinte ó como se estivesse escrevendo aqui o seguinte como eu não quero ter esse pedaço aqui do lado de cá então eu vou repetir aqui vou vir aqui vou fazer - 10 x quadrado yy deixes né então estou retirando isso aqui desse lado de cá para alterar o equilíbrio também vou fazer lá de carro então vou colocar aqui - 10 x quadrado y de y deixes tá então desde quando eu juntar isso aqui ó já que eu tenho 10 x quadrado yy dx menos 10 x quadrado ypy 10 x a gente vai ver que essas partes homem beleza agora eu também quero tirar esse cara do lado de cá eu quero que apareça aqui mas não aqui né então eu vou também tirar desse lado de cá - eis aqui como ele está aqui positivo não vou tirar menos seis vezes x quadrado mais y quadrado e levado ao quadrado mas de novo não quer alterar aqui a nossa equação então tudo que eu fizer um lado vou fazer um golzinho do outro então eu também vou colocar menos seis às vezes x quadrado mas y quadrado e levado ao quadrado bom o que a gente vai ter aqui então vamos aqui ver o que vai dar nesse lado aqui desse lado aqui então aqui você percebe que esse pedaço vai sumir com esse e esse pedaço vai sumir com esse então o que sobrou aqui desse lado de cá vamos escrever aqui desse lado de cá sobrou 6 y 6 y vezes x quadrado mais y quadrado elevada ao quadrado tá de y the xx como esse cara que também tem depressão de x eu vou escrever de y de xis aqui em evidência então vou colocar esses dois caras aqui juntos - menos 10 x quadrado e y isso que tudo isso aqui tudo aqui é um de y e x do lado de cá ficou igual bom aqui que aconteceu assumiu esse pedaço então sobrou isso aqui ó 10 x y quadrado menos 6 x vezes x quadrado mas y quadrado e levado ao quadrado legal agora para a gente resolver isso aqui na prática com bacon dx que é o que a gente quer eu vou pegar essa parte está aqui eu tenho que fazer ela sumir daqui apareceu do outro lado né então eu vim aqui dividir por essa mesma expressão aqui dos dois lados nessa gente divide dos dois lados a gente não ter a equação equilíbrio e aí ele vai sumir aqui desse lado vai aparecer só do lado de cá então vamos lá vamos ganhar um pouquinho mais de espaço e vamos escrever isso aqui então vai ficar de y deixe-se que é o que a gente está querendo saber vai ser igual a essa expressão aqui 10 x y quadrado menos 6 x vezes x quadrado mas epsilon quadrado elevada ao quadrado isso tudo aqui a gente vai aqui dividir pela expressão do lado de cá que vai ser 6 y vezes x quadrado mas y ao quadrado isso tudo ao quadrado menos têm x quadrado y tá então isso aqui é a taxa de variação de y em relação à x então digamos que você queira que ó trocar de corpo fica mais fácil de enxergar digamos que a gente queira que encontrar ó qual é a inclinação da reta tangente que passa por esse ponto bom digamos que a gente saiba aqui ok admitindo aqui que o valor de x aqui nesse ponto a coordenadora x nesse ponto que você conheça ea gente pode jogar aqui na nossa relação inicial aqui descobrir qual é o y ea gente vem aqui substitui a que esses valores de x e y ea gente encontra aqui a inclinação dessa reta tangente então aqui a gente vai ter aqui ó a inclinação da reta tangente aqui que passa nesse ponto