Diferenciação implícita (exemplo avançado)

RKA4JL - Vamos dizer que a gente tenha a relação y igual a cosseno de 5x menos 3y e a gente queira descobrir a taxa de variação de y em relação a x, assumindo, então, que y é uma função de x. O que a gente vai fazer é o que a gente já tem feito até agora, que é tirar o operador diferencial daqui e aplicar esse operador diferencial dos dois lados. Vamos fazer d/dx dos dois lados da nossa equação. Do lado esquerdo aqui a gente vai ficar com dy/dx, então dy/dx vai ser igual a... Deste lado a gente vai ter que fazer a derivada disso aqui em relação a x e vai ter que usar aqui a regra da cadeia. Primeiro vamos derivar o cosseno do que está aqui derivado em relação a isso que está aqui. Então vai ficar a derivada de cosseno, que é -sen, disso tudo que está aí dentro, 5x menos 3y, e agora a gente tem que multiplicar isso pela derivada do que está aqui dentro, só que em relação a x, que é o que a gente está fazendo aqui. Então vamos derivar 5x em relação a x, que vai dar 5, e vamos derivar -3y em relação a x. Como y é uma função de x, isto aqui vai ficar -3 vezes a derivada de y em relação a x. Mas vamos escrever aqui esse dy/dx da mesma cor que a gente já escreveu aqui porque depois a gente os junta e já fica mais destacado para a gente. Então vamos fechar os parênteses. O nosso problema agora é resolver isso aqui em função de dy/dx e essa parte, como você pode ver, é o que costuma ser a parte mais complicada de derivação implícita. Vamos tentar resolver isso agora. Vamos fazer a distributiva primeiro, então nós vamos multiplicar esse -sen de (5x menos 3y) por 5 e por -3 dy/dx. Isso aqui vai ficar assim, dy/dx vai ser igual a... Quando a gente fizer essa multiplicação vai ficar -sen disso aqui vezes 5, então isso vai ficar -5 vezes este seno, então -5 sen (5x menos 3y). Agora, quando a gente fizer a multiplicação da parte do seno por esse pedaço aqui, como os dois são negativos, isso vai dar positivo. Vai ficar mais 3 vezes esse seno, então mais 3 vezes sen (5x menos 3y) e isso tudo aqui é dy/dx. E agora o que a gente quer é resolver dy/dx, então a gente vai ter que juntar essas duas parcelas que têm dy/dx. Do lado de cá, como não tem nada, vamos colocar um 1, 1 dy/dx que está aqui. Se a gente tirar -3 vezes sen (5x menos 3y) dy/dx, se a gente tirar isso dos dois lados da nossa equação, a gente vai alterar a equação e essa expressão do lado direito vai sumir, mas do lado de cá ela vai aparecer negativa. Então isso vai ficar assim: trazendo-a para cá vai ficar 1 menos 3 (vou manter a cor do 3 só por diversão) a gente vai ter sen (5x menos 3y) e isso tudo é dy/dx. Então a gente tinha 1dy/dx aqui e trouxe esse pedaço para cá, então ficou 1 menos 3 sen (5x menos 3y) dy/dx. Isso tudo vai ser igual... Do lado direito esse pedaço sumiu, pois a gente tirou essa parcela do lado de cá e do lado de lá, então esse pedaço sumiu e sobrou apenas -5 vezes sen (5x menos 3y). E então praticamente terminou. Se a gente dividir por esse pedaço aqui, por essa expressão, se a gente dividir os dois lados da equação por essa expressão, deste lado ela vai sumir e do lado de lá vai aparecer dividindo e a gente vai ficar só com dy/dx, que é o que a gente quer. Então aqui a gente vai conseguir que dy/dx seja igual a -5 vezes sen (5x menos 3y) e isso tudo dividido por... Aqui embaixo vai dar 1, menos (vou manter o 3 aqui para descontrair) -3 vezes sen (5x menos 3y). Então dy/dx é isso aqui.