Se você está vendo esta mensagem, significa que estamos tendo problemas para carregar recursos externos em nosso website.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

Conteúdo principal

Diferenciação implícita (exemplo avançado)

Diferenciação implícita de y = cos(5x - 3y). Versão original criada por Sal Khan.

Quer participar da conversa?

Você entende inglês? Clique aqui para ver mais debates na versão em inglês do site da Khan Academy.

Transcrição de vídeo

RKA4JL - Vamos dizer que a gente tenha a relação y igual a cosseno de 5x menos 3y e a gente queira descobrir a taxa de variação de y em relação a x, assumindo, então, que y é uma função de x. O que a gente vai fazer é o que a gente já tem feito até agora, que é tirar o operador diferencial daqui e aplicar esse operador diferencial dos dois lados. Vamos fazer d/dx dos dois lados da nossa equação. Do lado esquerdo aqui a gente vai ficar com dy/dx, então dy/dx vai ser igual a... Deste lado a gente vai ter que fazer a derivada disso aqui em relação a x e vai ter que usar aqui a regra da cadeia. Primeiro vamos derivar o cosseno do que está aqui derivado em relação a isso que está aqui. Então vai ficar a derivada de cosseno, que é -sen, disso tudo que está aí dentro, 5x menos 3y, e agora a gente tem que multiplicar isso pela derivada do que está aqui dentro, só que em relação a x, que é o que a gente está fazendo aqui. Então vamos derivar 5x em relação a x, que vai dar 5, e vamos derivar -3y em relação a x. Como y é uma função de x, isto aqui vai ficar -3 vezes a derivada de y em relação a x. Mas vamos escrever aqui esse dy/dx da mesma cor que a gente já escreveu aqui porque depois a gente os junta e já fica mais destacado para a gente. Então vamos fechar os parênteses. O nosso problema agora é resolver isso aqui em função de dy/dx e essa parte, como você pode ver, é o que costuma ser a parte mais complicada de derivação implícita. Vamos tentar resolver isso agora. Vamos fazer a distributiva primeiro, então nós vamos multiplicar esse -sen de (5x menos 3y) por 5 e por -3 dy/dx. Isso aqui vai ficar assim, dy/dx vai ser igual a... Quando a gente fizer essa multiplicação vai ficar -sen disso aqui vezes 5, então isso vai ficar -5 vezes este seno, então -5 sen (5x menos 3y). Agora, quando a gente fizer a multiplicação da parte do seno por esse pedaço aqui, como os dois são negativos, isso vai dar positivo. Vai ficar mais 3 vezes esse seno, então mais 3 vezes sen (5x menos 3y) e isso tudo aqui é dy/dx. E agora o que a gente quer é resolver dy/dx, então a gente vai ter que juntar essas duas parcelas que têm dy/dx. Do lado de cá, como não tem nada, vamos colocar um 1, 1 dy/dx que está aqui. Se a gente tirar -3 vezes sen (5x menos 3y) dy/dx, se a gente tirar isso dos dois lados da nossa equação, a gente vai alterar a equação e essa expressão do lado direito vai sumir, mas do lado de cá ela vai aparecer negativa. Então isso vai ficar assim: trazendo-a para cá vai ficar 1 menos 3 (vou manter a cor do 3 só por diversão) a gente vai ter sen (5x menos 3y) e isso tudo é dy/dx. Então a gente tinha 1dy/dx aqui e trouxe esse pedaço para cá, então ficou 1 menos 3 sen (5x menos 3y) dy/dx. Isso tudo vai ser igual... Do lado direito esse pedaço sumiu, pois a gente tirou essa parcela do lado de cá e do lado de lá, então esse pedaço sumiu e sobrou apenas -5 vezes sen (5x menos 3y). E então praticamente terminou. Se a gente dividir por esse pedaço aqui, por essa expressão, se a gente dividir os dois lados da equação por essa expressão, deste lado ela vai sumir e do lado de lá vai aparecer dividindo e a gente vai ficar só com dy/dx, que é o que a gente quer. Então aqui a gente vai conseguir que dy/dx seja igual a -5 vezes sen (5x menos 3y) e isso tudo dividido por... Aqui embaixo vai dar 1, menos (vou manter o 3 aqui para descontrair) -3 vezes sen (5x menos 3y). Então dy/dx é isso aqui.