Exemplo resolvido: diferenciação implícita

nesse vídeo nós vamos ver mais um exemplo de derivados implícitas e aqui nós temos uma função diferencial em que nós temos x - y elevada ao quadrado e isso é igual à x mais y - um uma forma de a gente começar a realizar essa derivada implícita é devamos dois lados dessa igualdade em relação à x é o que nós vamos fazer aqui agora então a gente vai derivar esse lado esquerdo é que dessa igualdade em relação à x e vamos fazer a mesma coisa aqui do lado direito também vai levar esse lado aqui em relação à x como que a gente consegue realizar derivada de x - y elevada ao quadrado pra fazer isso a gente pode utilizar a regra da cadeia como levando a função interna em relação à x e multiplicando pela derivada da função de fora em relação ao que está aqui dentro dele levando a função de fora nós podemos utilizar a regra da potência então a gente vai colocar esses point aqui na frente assim a gente vai ter 2 vezes tudo isso daqui ou seja x - e y x - e y e vamos multiplicar isso pela derivada da função aqui dentro em relação à x derivando x em relação à x a gente vai ter um - a derivada de y em relação à x o que nós fizemos aqui como eu falei foi utilizar a regra da cadeia lembrando que essa parte aqui é a derivada da função de fora ou seja de x - e y elevada ao quadrado em relação à função de fora então vai ser em relação à x - y então por isso que a gente teve essa resposta que 2 vezes - y já que quando a gente deriva x - y elevada ao quadrado é em relação à x - y nós vamos ter como resposta 2 vezes x - y e essa outra parte aqui é a derivada da função de dentro em relação à x então isso vai ser derivada de x - ny em relação à x de levando agora lá o direito em relação à x a gente vai ter derivado de x em relação à x que é igual a um mais a derivada de y em relação à x a derivada de um e zero já que a gente já sabe que é derivada de uma constante sempre vai ser igual a zero e um é uma constante o que nós precisamos fazer aqui agora já que a gente quer encontrar derivada de y em relação à x é encontrar uma maneira de isolar esse de y the shins lembrando que a gente tem esse de y de xis aqui do lado direito da igualdade e também temos esse de y de xis aqui do lado esquerdo então a gente precisa encontrar uma maneira de isolar esse de y dx vamos fazer isso daqui pra gente começar a trabalhar com essa expressão eu vou melhorar um pouco a visualização desse 2 vezes x - y aplicando-a distributiva assim a gente vai ter duas vezes x menos duas vezes y e tudo isso vai multiplicar essa expressão aqui assim a gente vai pegar esse 2x -2 e y e vai multiplicar por 12 x -2 y vezes um é igual a 2 x 1 - 2 y ea gente também vai pegar esse 2x -2 y e x s - de y dx assim a gente vai ter menos 2 x -2 y vezes de y de x e menos 2 x - do y é igual a 20 ou menos 2 x 1 então nós vamos ter 2 x -2 y mais dois y - 2 x vezes de y de x do outro lado a gente continua tendo um mais de y dx beleza o que a gente pode fazer aqui agora pra conseguir encontrar esse resultado a gente pode encontrar uma forma de levar esse 2x menos 25 são para o outro lado aqui da igualdade para o lado direito e pra fazer isso a gente pode subtrair por 2x - 2011 dos dois lados da igualdade assim a gente vai colocar aqui isso tudo menos 2 x -2 y en su entre parênteses ea mesma coisa que do outro lado gente também vai subtrair por esses dois x - 2 y a gente também pode levar esse de y dx para o lado esquerdo da igualdade e pra fazer isso a gente pode fazer a mesma coisa subtrair por de y dx dos dois lados da igualdade assim a gente vai ter tudo isso aqui - de y de x e de celadon aqui a gente também vai colocar menos de y deixe estar mas porque é interessante fazer isso quando a gente faz isso quando a gente se subtrai por 2x - do y aqui do lado esquerdo da igualdade a gente cancela essa parte com essa parte aqui e fica apenas com dois instrumentos 2 x e y dx do lado esquerdo e aí claro aqui do lado direito a gente vai ter menos 2 x 1 - 2 y e quando a gente subtrai por de y dx nos dois lados a gente cancela sby de xis aqui do lado direito e fica apenas com menos de y de xis aqui do lado esquerdo assim reescrevendo tudo isso daqui a gente vai ter dois e y - 2 x vezes de y dx menos bem aqui a gente tem menos de y deixe certo lembrando que quando a gente não tem nenhum número aqui na frente de alguma coisa na verdade que a gente tem é o número um então a gente vai ter aqui - um vezes de y de x e tudo isso vai ser igual a 1 - 2 x 1 - 2 y colocando esse de y de x em evidência a gente vai ter dois y - 2 x menos 11 vezes de y deixe certo então a gente pode apagar toda essa parte aqui e colocar dois y - 2 x menos 11 vezes de y de x e isso vai ser igual a 1 - 2 - 2 y a gente também pode melhorar um pouco esse lado esquerdo que sabendo que como a gente tem o sinal de negativo -2 x -2 y é a mesma coisa que 25 pelo menos 2 x então a gente também pode apagar tudo isso aqui e melhorar um pouco a visualização disso então toda essa parte aqui vai ser igual a 2 y - 2x mais um veneza como o nosso objetivo é calcular derivado implícita ou seja calculado derivada de y em relação à x basta agora dividir por dois y - 2 x menos um dos dois lados da igualdade assim a gente vai ter que de y dx é 12 pelo menos 2 x + 1 sobre 25 pelo menos 2 x 1 - 1 então de y dx é igual a 2 e psicólogo 1 - 2 x + 1 sobre dois hippies 1 - 2 x 1 - 1 então nós vimos aqui um outro exemplo também pra gente calcular uma derivada em pista lembre-se que sempre que a gente for calcular uma derivada implícita a gente precisa levar em consideração todas as propriedades da elevada que a gente já conhece sabendo disso a gente vai pegar a função e vai derivar em relação à x e aí vai abrindo essa derivado utilizando as propriedades da derivada até a gente conseguir chegar ao resultado e para chegar a esse resultado a gente precisa encontrar uma maneira de isolá-lo de y dx que é na verdade um resultado que a gente está procurando a derivada de y em relação à x que nesse caso aqui foi igual a 20 ou menos 2 x + 1 sobre 20 ou menos 2 x 1 - 1