Demonstração de como a diferenciação explícita e a implícita dão o mesmo resultado

RKA3JV - O objetivo deste vídeo é mostrar que o resultado do cálculo de uma derivada implícita vai ser igual ao resultado de uma derivada explicita. E isso, claro, quando a gente puder calcular de forma explícita. Então, vamos lá! Para mostrar isso, eu vou querer calcular a derivada desta função aqui, "x" vezes a raiz quadrada de "y" que é igual a 1. Nós temos uma função aqui "x" e "y". E o que nós vamos fazer é calcular a derivada. Inicialmente de forma implícita e depois de forma explícita. Para a gente calcular a derivada de forma implícita, o que nós temos que fazer aqui é isolar o "x" do "y". Então, vamos fazer isso. Para isolar o "x" do "y" aqui, ou seja, colocar todos os termos que têm "y" de um lado e todos os termos que têm "x" do outro, o que nós podemos fazer é dividir ambos os lados da equação por "x". Assim, do lado esquerdo, a gente vai ter apenas a raiz quadrada de "y" e do lado direito a gente vai ter 1/x. Agora, o que nós podemos fazer é elevar ao quadrado dos dois lados da equação. Elevando ao quadrado aqui do lado esquerdo, nós vamos ter √y², que é igual a "y". E aqui do lado direito, nós vamos ter 1² que é 1 sobre x². E 1/x² é a mesma coisa que x⁻² Agora, que fizemos esta igualdade aqui e separamos o "y" do "x", a gente pode derivar os dois lados em relação a "x". Assim, a gente vai ter aqui do lado esquerdo "dy". Ou seja, a derivada de "y" em relação a "x". E do lado direito, nós vamos ter a derivada em relação a "x" de x⁻². Utilizando aqui a regra da potência, nós vamos ter -2, porque a gente pega este expoente e coloca aqui na frente, este expoente é -2. Então, vamos ter -2 vezes "x" elevado a (-2 - 1), que é igual a -3. E este é o resultado que nós estávamos querendo encontrar. A derivada de "y" em relação a "x", que é igual a -2 vezes x⁻³ Agora, nós podemos calcular a derivada de forma explícita. E como é que nós podemos fazer isso? Derivando os dois lados da equação em relação a "x". Então, a gente deriva este primeiro lado aqui, o lado esquerdo em relação a "x". Então, vai ser a derivada em relação a "x" de "x" vezes raiz quadrada de "y", que é igual a isto tudo aqui. É igual à derivada em relação a "x" d[1]/dx. Para calcular a derivada aqui do lado esquerdo, como você pode observar, nós temos um produto, um produto entre "x" e a raiz quadrada de "y". Então, nós vamos precisar usar aqui a regra do produto e também a regra da cadeia. Já que nós temos aqui uma função, a função "y", dentro de uma outra função, que é a raiz quadrada. Então, por isso a gente precisa utilizar também a regra da cadeia. Então, vamos lá! Vamos calcular aqui esta derivada utilizando inicialmente a regra do produto. E a regra do produto diz que a gente precisa calcular derivada do primeiro termo. Então, vai ser derivada em relação a "x", deste primeiro termo aqui, que é "x", vezes o segundo termo que é a raiz quadrada de "y". Depois, a gente vai somar com o primeiro termo, que é "x", e vai multiplicar pela derivada do segundo termo. A gente vai multiplicar com a derivada em relação a "x" do segundo termo, que é a raiz quadrada de "y". Isto, igual à derivada em relação a "x", de 1. O 1 é uma constante e, como sabemos, a derivada de uma constante é sempre igual a zero. Então, tudo isso vai ser igual a zero. Ok, agora nós podemos começar a calcular estas derivadas aqui. Aqui nós temos a derivada em relação a "x" do próprio "x". E quanto vale a derivada em relação a "x" do próprio "x"? Bem, isso vai ser igual a 1. Então, nós vamos ter 1 vezes a raiz quadrada de "y" que é igual à própria raiz quadrada de "y", mais esta expressão aqui. Então, nós precisamos calcular esta expressão. Aqui nós já temos o "x", então, a gente repete aqui o "x". Isto, vezes a derivada em relação a "x" da raiz quadrada de "y". É aqui que nós precisamos utilizar a regra da cadeia. Por que nós temos que utilizar a regra da cadeia? Porque a gente precisa derivar a função de fora, em relação a "y", e multiplicar pela derivada da função de dentro em relação a "x". E qual é a derivada da raiz quadrada de "y" em relação a "y"? A derivada da raiz quadrada de "y" em relação a "y" é igual a 1/2 vezes "y" elevado a -1/2. Não podemos esquecer que isso aqui é a derivada da raiz quadrada de "y", isso em relação ao "y". Lembre-se, que se a gente estivesse calculando a derivada da raiz quadrada de "x" em relação a "x", nós teríamos algo sendo igual a 1/2 vezes "x" elevado a -1/2. Mas aqui, no caso, como estamos derivando a raiz quadrada de "y" em relação a "y", nós vamos ter a mesma coisa. Só que ao invés de "x" a gente vai ter o "y" elevado a -1/2. Mas não se esqueça que isso aqui é a derivada da parte de fora, certo? Da função externa. A gente ainda precisa derivar a função interna em relação a "x". E a derivada da função interna vai ser a derivada de "y" em relação a "x". Então, a gente vai multiplicar isto aqui por dy/dx, que, diga-se de passagem, é o que nós estamos querendo encontrar aqui neste cálculo. Isto tudo igual a zero. Ok! Como o nosso objetivo é encontrasse dy/dx, a primeira coisa que nós podemos fazer é trazer esta √y aqui para o lado direito. E para fazer isso, basta subtrair pela √y dos dois lados da equação. Subtraindo pela √y, aqui do lado esquerdo, a gente anula esta √y e fica apenas com "x" dividido por 2 vezes a √y. Isto, vezes dy/dx. E, claro, como do lado esquerdo a gente também vai subtrair pela √y, a gente vai ter algo igual a -√y. Beleza, agora que a gente já chegou nesta parte aqui, eu posso até copiar esta parte e trazer aqui para cima para a gente terminar. Agora, que nós já chegamos a esta parte, nós precisamos encontrar este dy/dx. A gente pode dividir por "x" dos dois lados da equação e multiplicar por 2√y dos dois lados da equação. Assim, a gente anula esta parte aqui e fica apenas com dy/dx. Então, vamos ter algo igual a dy/dx sendo igual a 2 vezes √y, sobre "x", isso vezes este -√y. Trabalhando nesta expressão aqui do lado direito, a gente tem de dy/dx sendo igual a 2 vezes √y vezes -√y. Assim, a gente vai ter menos, porque este menos a gente pode colocar na frente, 2 vezes, √y vezes √y é apenas "y". Isto, dividido por "x". Então, encontramos aqui o resultado da derivada de "y" em relação a "x". Mas aí você vai falar para mim: "poxa, olhe só, professor, isto aqui está bem diferente disto aqui que a gente encontrou aqui em cima, desta parte aqui". Então, por que isto está bem diferente? Bem, se você observar aqui em cima, "y" não é igual a "x" elevado a -2? A gente poderia fazer essa substituição aqui. Assim, a gente teria algo sendo igual a, deixe-me subir um pouco mais aqui. A gente teria algo sendo igual a dy/dx que é igual a -2 vezes "y", que é "x" elevado -2, e isto dividido por "x". Isto aqui vai ser igual a -2 vezes "x" elevado a -3, já que este "x" aqui a gente pode colocar aqui no numerador como "x" elevado a -1. E "x" elevado a -2 vezes "x" elevado a -1 é a mesma coisa que "x" elevado -3. E isto aqui é idêntico a isto aqui que a gente tinha calculado anteriormente. Então, você pode perceber que quando você pode calcular de forma explícita, quando é possível fazer isto, o resultado vai ser o mesmo. Então, independentemente da forma que você usar, você vai chegar ao mesmo resultado.