Derivadas de funções inversas

Oi e aí pessoal tudo bem nessa aula nós vamos aprender a derivar funções inversas Então vamos dizer que nós temos duas funções inversas aqui a primeira é a função f de x e a função GTX que é a inversa de f de x então f&a - 1D x e claro se você não lembra o conceito de uma função inversa eu sugiro que você revise os vídeos da Khan Academy e uma propriedade da função inversa é que se eu pegar G composta de f de x Isso vai ser igual a x e isso vem da ideia de função por exemplo se eu tenho um conjunto de partida e nesse conjunto Eu tenho um elemento x que é transformado em um f de x no conjunto de chegada e esse segundo conjunto uma função inversa pega o f de x e transforma em X e nós representamos essa função inversa por um F elevado a menos 1 e claro até agora nós só vivemos uma revisão de função inversa vamos aplicar esse conceito lo cálculo utilizando a regra da cadeia primeiro eu vou começar aplicando a derivada em relação a x Em ambos os membros dessa equação E aí eu vou ter que a derivada em relação a x d g d f de x vai ser igual a derivada é em relação a x DX ó pagaram x e colocar ele um pouco para o lado então a derivada em relação a x e Como resolvemos isso do lado esquerdo nós devemos aplicar a regra da cadeia e isso vai ser igual a derivada de G em São f de x ou seja aplicando a regra da cadeia nós vamos ter a derivada de g d f de x a derivada da função de dentro que f de x então a derivada de f de x Isso vai ser igual ao que a derivada em relação a x vai ser igual a um você pode aplicar a regra da potência nesse x e vai encontrar facilmente um e Podemos dividir ambos os membros dessa equação por G linha de f de x e aí vamos ficar com a derivada de x e vai ser igual a 1 sobre a derivada de g d f de x ou seja para determinar a derivada de uma função inversa você utiliza essa relação isso é interessante porque e daqui nós conseguimos resolver diversas derivadas e vamos tentar utilizar isso em algumas funções clássicas vamos dizer que nós temos aqui a função é elevado a x e a função inversa que vamos chamar de gdx vai ser igual a FD - 1D x e qual é a função inversa de elevado a x para descobrir isso nós chamamos f de x y e igualamos a elevado a x e trocamos o x eo Y ficando com X = é elevado a y e para resolver isso nós podemos aplicar o logaritmo natural Em ambos os membros da equação ficando com l i n d X = Y por tanto a função inversa de é elevado a x é a função lnd X Oi e Claro todo esse conceito de funções inversas nós já vimos em vídeos anteriores por isso eu sugiro que você deu uma olhada se você não entendeu Essa parte então a função gdx vai ser = logaritmo natural de X OK agora vamos ver se isso aqui é verdade para essas duas funções primeiro Qual é a derivada de f de x nós sabemos que a derivada de é elevado a x é o próprio é elevado a x e dividir os passados Nós também sabemos que a derivada da função Aliene de x = 1 sobre X ok então para testar se isso aqui é verdade nós vamos pegar a derivada de f de x que é é elevado a x então é elevado a x = 1 sobre a derivada de g d f de x Oi gente linha = 1 sobre x portanto um sobre um / elevado a x resolvendo isso nós vamos ter é elevado a x ou seja essa relação é verdadeira enfim essa igualdade é bastante útil para calcular derivadas de funções inversas e eu espero que essa aula tenha te ajudado e até a próxima pessoal