Derivadas de funções inversas: a partir de equação

seja fdx igual a 6 x ao cubo mais 3 x - 4 e seja h a inversa da função efe considere que fd - dois é igual a menos 14 a pergunta é qual é o a galinha de -14 ou seja derivada da função inversa desta função dada quando x vale menos 14 se você não está muito bem familiarizado com a ideia das derivadas das funções inversas isso tudo pode parecer uma coisa muito difícil de fazer porque você vai tentar descobrir o que é a função definida pelo h que seria a função inversa de uma poligonal de terceiro grau e isso poderia te dar um trabalho algébricos muito grande a chave para que isso tudo seja resolvido mais diretamente é o fato de que a galinha de x ou seja derivada da função inversa df é igual a 1 sobre o fmi linha do hdx agora você pode usar isto para descobrir quanto é neste caso a galinha de -14 antes de continuar é claro você deve se perguntar de onde vem esta relação e eu já digo que esta relação essencialmente vem da regra da cadeia e para discutir isso precisamos nos lembrar de que se f e h são funções inversas então o f do hdx é igual a simplesmente x lembre-se o h de she's leaving an x para algum valor hdx iof do hdx leva esse resultado de volta para o x é isso que as funções inversas fazem tendo isso se nós tomarmos a derivada dos dois lados desta igualdade o que será que vamos obter estou aqui de levando em relação à x o lado esquerdo e um lado direito da igualdade arrumando um pouquinho aqui lembrando da regra da cadeia vamos ter então é filhinha do hdx vezes a galinha de x que seria derivada da função composta por fh e isso é igual a derivada de x em relação à x que simplesmente um agora basta dividir os dois lados por efe linha de hds x e vamos chegar à a galinha de x igual a 1 sobre o fmi linha do hdx que é exatamente o que eu já havia colocado acima seguindo então a idéia acima como nós queremos calcular o a galinha de -14 isso vai ser igual a 1 sobre o fmi linha do h de -14 estamos trocando x por menos 14 agora nós precisamos saber o que é o haka de -14 mas vamos voltar ao enunciado e usar a informação de que o fd - dois é igual a menos 14 e uma garrafa justamente o caminho inverso portanto o hd - 14 é igual a menos 2 ou seja se você coloca menos 14 no lugar do x na função h você tem que voltar para o x do f que originou menos 14 que aqui é o menos dois o hd - 14 portanto é igual a menos dois já posso substituir aqui então hd - 14 por menos dois o que nós fizemos simplesmente foi inverter aqui ou menos 2 e ou menos 14 que é justamente o que as funções inversas fazem ou seja se f leva ao menos dois para -14 o hq é inversa leva ao menos 14 para o menos dois agora precisamos saber o que é o f linha de -2 para isso primeiro vamos precisar saber o que é o f linha de x já que conhecemos fdx vamos levar ali meio de x ao cubo usando a regra da potência o 3 vai multiplicando três vezes um meio são três meios vezes o x ao quadrado o expoente diminuir em uma unidade mais adequada de 3x em relação à x que é simplesmente 3 mais uma vez usamos a regra da potência o expoente e um do x multiplicou o 3 x ficou elevado a 0 por isso não aparece já que seria resultado 1 a derivada de -4 que é uma constante é simplesmente 0 então é filhinha de x é igual a três meios x quadrado mais três então o fmi linha de menos dois vai ser três meios vezes o menos dois ao quadrado que dá quatro positivo e ainda mais três simplificando aqui temos simplesmente 2 que vezes três das seis e mais aquele outro 3 resulta em nove ou seja o fmi linha de -2 é igual a 9 então este denominador todo vale 9 portanto o a galinha de -14 tudo isso aqui é igual a 1 sobre nove para resolver isso você usou algo que você não vê todo dia nem é algo tão típico na sua aula de cálculo mas é interessante até a próxima