Derivada de logₐx (para qualquer base positiva a≠1)

nós temos em vídeos anteriores que a derivada em relação a x do logaritmo natural l i n d x = 1 sobre x e o que vamos fazer nesse vídeo é usar este conhecimento para saber qual é a derivada em relação AX do logaritmo de X numa base qualquer vamos chamar de derivada em relação a x log na base A da variável X para trabalhar com isso vamos usar um recurso das suas aulas de álgebra chamado mudança de base Então você temos aqui um certo logaritmo de B na base e se eu quiser mudar isto para uma outra base a mudança de base nos diz que o log de bem na base A = Log de bebê numa outra base por exemplo ser dividido pelo blog de ar nessa mesma outra base você provavelmente você se lembra de ter visto isso mas aqui está para relembrar temos a demonstração deste fato em outros vídeos daquela academia e essa ideia é extremamente útil porque por exemplo a sua calculadora tem um botão de log mas log na calculadora o último na base 10 então se você aperta a tecla log quando você coloca o número sem na sua calculadora O resultado é dois porque o logaritmo de 100 na base 10 é dois e isso é inscrito simplesmente logaritmo de sentem escrever a base quer dizer que a base existe um outro botão importante na sua calculadora que é do logaritmo natural o logaritmo na base e o logaritmo natural de X = logaritmo de X na base e mais às vezes você precisa trabalhar com logarítimos em outras bases e a ideia da mudança de Base é extremamente útil para isso e vamos utilizá-la só para exemplificar se você tivesse de calcular por exemplo logaritmo de 8 na base e três você pode colocar na sua calculadora logaritmo de 8 dividido pelo logaritmo de três lembre-se de que logaritmo sem escrever a base a base 10 do mesmo modo que você poderia usar o logaritmo natural então logaritmo natural de 8 dividido pelo logaritmo natural de três que vai dar aqui o mesmo resultado então Neste vídeo vamos usar o logaritmo natural já que nós conhecemos a sua derivada e a mudança de base PA e até a derivada da função logaritmo numa base qualquer então eu escrevendo aqui a derivada de logaritmo de X na base A em relação a x pode ser reescrita como a derivada do lnd x sobre o lnda fiz a mudança de base para a base e e eu posso reescrever como um sobre Aline vezes ele ndx mas um sobre lnda é um número é uma constante Então posso multiplicar a derivada posso tirar do cálculo daqui de dentro do cálculo da derivada quero dizer escrever um sobre lnd a vezes a derivada do Eliene de X em relação a x mas nós já sabemos que a derivada do eleny de X em relação a x é simplesmente ou sobre X então já que temos um sobre lnd a vezes a derivada do ele ndx500 sobre x temos um sobre lnd a vezes um sobre x ou simplesmente um sobre ele e isso vezes no denominador e isso é extremamente útil uma vez que eu agora eu consigo calcular derivadas as funções logarítmicas em qualquer base então por exemplo Digamos que eu tenho uma função real definida por f de x = log de X na base set a derivada dessa função é filhinha DX vai ser então um sobre o lnd 7 vezes x se nós tivéssemos uma situação envolvendo uma constante multiplicando aqui como por exemplo a função real G definida por g de x = - 3 vezes o logaritmo de X na base pe lembre-se de que peão número então a derivada de g ou seja gelinho será igual a -3 sobre agora derivada do log de X na base Piquet é um sobre lnd pin vezes x claro que eu menos três multiplicou o numerador um então ficar menos 3 sobre a Liene de ipe vezes com isso encerramos por agora até o próximo vídeo