Derivada de logₐx (para qualquer base positiva a≠1)

RKA4JL - Vimos em vídeos anteriores que a derivada em relação a x do logaritmo natural de ln de x é igual a 1 sobre x e o que vamos fazer neste vídeo é usar este conhecimento para saber qual é a derivada em relação a x do logaritmo de x numa base qualquer. Vamos chamar de derivada em relação a x do log na base “a” da variável x. Para trabalhar com isso vamos usar um recurso das suas aulas de álgebra chamado "mudança de base". Então se temos aqui um certo logaritmo de ₐb e se eu quiser mudar isto para uma outra base, a mudança de base nos diz que o log ₐb é igual a log b em uma outra base, por exemplo c, dividido pelo log de “a” nessa mesma outra base c. Provavelmente você se lembra de ter visto isso, mas aqui está para relembrar. Temos a demonstração deste fato em outros vídeos da Khan Academy e essa ideia é extremamente útil porque, por exemplo, a sua calculadora tem o botão de log, mas log na calculadora é o logaritmo na base 10, então se você aperta a tecla log quando coloca o número 100, na sua calculadora o resultado é 2 porque o logaritmo de 100 na base 10 é 2. Isso é escrito simplesmente como logaritmo de 100. Sem escrever a base quer dizer que ela é 10. Existe um outro botão importante na sua calculadora, que é do logaritmo natural, logaritmo na base "e". O logaritmo natural de x é igual ao logaritmo de x na base "e", mas às vezes você precisa trabalhar com logaritmos em outras bases e a ideia da mudança de base é extremamente útil para isso. Vamos utilizá-la. Só para exemplificar, se tivesse de calcular, por exemplo, o logaritmo de ₃8, você pode colocar na sua calculadora log 8 dividido pelo log 3. Lembre-se de que logaritmo sem escrever a base significa que a base é 10. Do mesmo modo que você poderia usar o logaritmo natural, então logaritmo natural de 8 dividido pelo logaritmo natural de 3 vai dar o mesmo resultado. Então neste vídeo vamos usar o logaritmo natural, já que nós conhecemos a sua derivada e a mudança de base para chegar até a derivada da função logaritma numa base qualquer. Então reescrevendo a derivada de log ₐx em relação a x, ela pode ser reescrita como a derivada do (ln x sobre ln a). Fiz a mudança de base para a base "e". Eu posso reescrever como (1 sobre ln a) vezes ln x. Mas (1 sobre ln a) é um número, é uma constante, então posso multiplicar a derivada, posso tirar do cálculo daqui de dentro do cálculo da derivada. Significa escrever (1 sobre ln a) vezes a derivada do ln x em relação a x, mas nós já sabemos que a derivada do ln x em relação a x é simplesmente 1/x. Então já que temos (1 sobre ln a) vezes a derivada do ln x, que é (1/x) temos (1 sobre ln a) vezes (1/x), ou simplesmente 1 sobre (ln a vezes x) no denominador. Isso é extremamente útil, uma vez que agora eu consigo calcular derivadas e funções logarítmicas em qualquer base. Então, por exemplo, digamos que eu tenha uma função real definida por f(x) igual log de ₇x. A derivada dessa função, f'(x), vai ser 1 sobre (ln 7 vezes x). Se nós tivéssemos uma situação envolvendo uma constante multiplicando aqui, como por exemplo a função real g definida por g(x) igual -3 vezes o log x na base π (lembre-se de que π [pi] é um número) então a derivada de g, ou seja g', será igual a -3 sobre... Agora, a derivada do log x na base π, que é 1 sobre (ln π vezes x). Claro que -3 multiplicou o numerador 1, então ficar -3 sobre (ln π vezes x). Com isso encerramos por agora. Até o próximo vídeo!