Exemplo resolvido: derivada de ∜(x³+4x²+7) usando a regra da cadeia

RKA14C Olá, tudo bem? Neste vídeo, quero calcular com você a derivada da raiz quarta de: x³ + 4x² + 7. Uma coisa interessante é que, quando você olha para esta função aqui e deseja derivar, de cara, você vai perceber que tem aqui uma função que está dentro de uma outra função. A função x³ + 4x² está aqui, dentro dessa função ⁴√. Então, quando você tem uma função composta desse jeito, em que uma função está tomando uma outra função, e você deseja calcular a derivada dessa função composta, acredito que a primeira coisa que vem à sua mente é o seguinte: "Olha, podemos utilizar a regra da cadeia!" De fato, isso é verdade. Quando você tem uma função composta desse jeito, em que uma função está tomando uma outra função, você pode derivar utilizando a regra da cadeia. Mas, antes de calcular e utilizar a regra da cadeia, vamos deixar essa raiz quarta de uma forma um pouco melhor. De uma forma um pouco mais calculável. Todos nós sabemos que, quando temos a raiz de algo, basta pegar isso e elevar à fração dessa raiz, e essa raiz é a que vai estar no denominador dessa fração. Por exemplo, queremos calcular aqui a derivada em relação a x dessa ⁴√x³ + 4x² + 7. Certo? Então, o que queremos aqui, na verdade, é calcular a derivada dessa função em que temos aqui x³ + 4x² + 7. E essa função está elevada a uma fração, em que temos o 1 no numerador e 4 no denominador. Isto aqui é a mesma coisa que ⁴√ dessa função aqui de dentro. Beleza? Se queremos calcular essa derivada agora, temos uma função aqui dentro de uma outra função. Como eu já falei agora mesmo, podemos fazer isso utilizando a regra da cadeia. Para usar a regra da cadeia, podemos dizer o seguinte, que esta função aqui dentro seria uma função u(x). O que nós estamos fazendo aqui é pegando essa função u(x) e elevando a 1/4. Para derivar calculando a regra da cadeia, podemos derivar a função de fora em relação a u, e derivar esta função aqui de dentro em relação a x. Então, isso vai ser igual a quanto? A derivada, utilizando a regra da cadeia, vai ser igual à derivada da função de fora em relação a u. Para derivar função de fora, nós podemos utilizar a regra da potência. Colocando esse expoente na frente, teremos: 1/4 vezes tudo o que está ali dentro, do jeito que está, ou seja, x³ + 4x² + 7, isso elevado a alguma coisa. Elevado a quanto? Como nós estamos usando a regra da potência, colocamos aqui 1/4 - 1. Só que 1/4 - 1 é igual a quanto? A -3/4, certo? Então, podemos substituir tudo isso por -3/4. Colocamos aqui -3/4. Então, já derivamos a função de fora em relação a u. Vamos multiplicar essa função de fora pela derivada da função de dentro em relação a x. Ou seja, a derivada de u em relação a x. A derivada desta função aqui em relação a x vai ser igual a quanto? Para derivar essa função, ou seja, a derivada de u em relação a x, podemos utilizar a regra da potência. Como? Colocando esse 3 aqui na frente. Vamos ter 3 vezes x³⁻¹, que é 2. O mesmo aqui, colocamos o 2 aqui na frente. Vamos ter 2 vezes 4. E 2 vezes 4 = 8. Então, mais 8 vezes x²⁻¹, que é 1. A derivada de 7 é zero, já que 7 é uma constante. Toda derivada de uma constante é sempre igual a zero. Então, a derivada de u(x) vai ser igual a 3x² + 8x. Podemos até colocar isso já aqui na frente. Então, tudo isso vezes 3x² + 8x. Beleza, calculamos a derivada dessa função utilizando a regra da cadeia. Bem, vamos fazer um pequeno exemplo agora. Vamos supor que temos a nossa função f(x), e que essa função f(x) é exatamente aquilo ali: a raiz quarta de x³... Ou seja, x³ + 4x² + 7. Então, essa é a nossa função. Vamos supor que queiramos calcular a derivada dessa função em x = -3. Bem, nós já calculamos aqui a derivada da função, então, basta pegar esta expressão e substituir x por -3. Nós vamos ter aqui: 1/4 vezes... x³ - 3³ = -27, mais... -3² é igual a 9 positivo, e 4 vezes 9 é igual a 36. Isso mais 7, tudo elevado a -3/4, vezes... Aqui também vamos ter -3², que é 9, e 3 vezes 9 é igual a 27... 27 menos, porque aqui vamos ter 8 vezes -3, e 8 vezes -3 é igual a -24. Então, vai ser mais -24, que é -24. -27 + 36 + 7 = 16, já que -27 + 7 = -20... -20 + 36 = 16. Então, tudo isso é igual a 16. E 27 - 24 = 3. Então, vamos ter 1/4 vezes 16⁻³/⁴ vezes 3. Então, isso vai ser igual a: 1/4 vezes 3 = 3/4... 3/4 vezes quanto? Bem, aqui vamos ter 16. Certo? Aqui não temos -3/4? Podemos dividir isso, já que é a mesma coisa que (16¹/⁴)⁻³. Beleza? Lembre-se de que todas as vezes em que temos uma potência de uma potência, podemos repetir a base, que aqui é 16, e multiplicar os expoentes. Se podemos fazer isso, podemos fazer o contrário, desmembrar deste jeito aqui. (16¹/⁴) é a mesma que ⁴√16. E ⁴√16 = 2. Então, isto aqui é 2. E 2⁻³ é a mesma coisa que 1/2³. E 2³ = 8. Então, tudo isso é igual a 1/8. E vamos ter: 3 dividido por 4 vezes 1/8. 3 vezes 1 = 3. 4 vezes 8 = 32. Então, esta aqui seria a resposta. A derivada dessa função no ponto x = -3 é igual a 3/32. Ou seja, a inclinação da reta tangente que passa por essa função nesse ponto x = -3, vai ser igual a 3/32. Se plotarmos um gráfico com essa função, nesse ponto x = -3, vamos encontrar uma reta tangente em que essa reta tangente tem uma inclinação igual a 3/32.