Exemplo resolvido: derivada de sec(3π/2-x) usando a regra da cadeia

vamos dizer que eu tenho uma função y igual às e cante de três pistas sobre 2 - x e vamos dizer que eu queira a derivada dessa função ou seja que o queira deriva' y em relação à x em ou seja no ponto x igual ap sobre quatro então nós temos aqui essa função y igual às e cante de três pisos sobre 2 - x e o que nós queremos fazer nesse vídeo é determinar a inclinação da reta tangente nesse ponto x iguape sobre quatro ok a primeira coisa que nós temos que fazer aqui é determinado e privada dessa função e uma coisa que a gente pode observar aqui é que nós temos uma função composta ou seja a gente tem as e cante de uma outra função inclusive a gente pode chamar essa função aqui de x ou seja o dx é essa função 3 pi sobre 2 - x nós podemos também de levar essa função é que em relação à x então nós vamos calcular aqui o linha de x bem se nós estamos levando em relação à x a gente sabe que três bis sobre dois é uma constante ea derivada de uma constante é sempre igual a zero ea derivada de menu x vai ser igual a menos um lembrete que pra fazer é derivada de um polis nome basta utilizar a regra da potência aqui em cima a gente tem um agente coloca esse um aqui na frente então a gente vai ter menos 11 vezes x elevado ao menos um que a x elevado a 0 e todo o número elevado a 0 é igual a um então a derivado de x é apenas igual a menos um bem agora sim a gente pode calcular essa derivada de y em relação à x tudo bem a gente tem aqui as e cante de onde che certo pelo fato de ser uma função composta para a derivar essa função y a gente pode utilizar a regra da cadeia ou seja deriva' a função de fora e multiplicar pela derivada da função de dentro que é o dx tudo bem mas qual seria derivada da seca a gente já viu isso aqui em outros vídeos mas não custa nada dar uma relembrada a derivado em relação à x das e cante dx é igual ao sendo de x sobre o cosseno ao quadrado de x então como eu falei agora a gente vai precisar utilizar a regra da cadeia para calcular derivada de y em relação à x levando a função de fora que é a c kant a gente vai ter oceano de odin x nesse caso sobre o cosseno ao quadrado de x então vamos colocar isso a gente vai ter o senhor nuno gil de x sobre o cosseno ao quadrado de 8x vamos colocar aqui o dx e aqui também o de she's a gente já poderia fazer a substituição tudo bem mas eu quero deixar isso aqui desse jeito a gente conseguiu observar passo a passo o que está acontecendo vezes a derivada de x ou seja o linha de x rock beleza agora basta a gente substituiu o dx aqui eo linha de xis aqui vamos lá isso aqui vai ser igual aos e ano de uso de x sobre o cosseno ao quadrado de x o dx como a gente viu é 3 mil sobre 2 - x então a gente coloca aqui dentro do parâmetro de três pisos sobre 2 - x e aqui também três pi sobre 2 - x isso visys linha de x que é igual a menos um então a gente multiplica tudo isso daqui por menos um claro que eu já poderia colocar se menos um aqui na frente mas eu quis deixar dessa forma para que a gente consiga observar tudo o que está acontecendo aqui passo a passo aqui beleza então essa daqui é derivada da sequência de três pisos sobre 2 - x só que a gente tem essa de elevada em x igual ap sobre quatro certo então a gente pode substituir esse xis aqui por fim sobre quatro então vamos fazer essa substituição vamos dizer que esse x é igual ap sobre quatro ea mesma coisa que esse xis vai igual ap sobre quatro ea gente vai ter aqui dentro de si parênteses três pistas sobre 2 - pi sobre quatro então vamos fazer isso aqui devagar aqui do lado a gente tem três pi sobre 2 - pi subir 4 a gente precisa colocar os denominadores sendo iguais então basta multiplicar por dois aqui no numerador e aqui também que aí a gente vai ter seis pistas sobre quatro então nós vamos ter seis pistas sobre quatro - pi sobre quatro e seis pistas sobre quatro - pi sobre quatro é igual a 5 pi sobre quatro então dentro do nosso parênteses aqui a gente vai ter cinco pisos sobre quatro então é derivada de y em relação à x nesse ponto x iguape sobre quatro vai-se igual a menos porque a gente tem esse vezes - um aqui o oceano de cinco pisos sobre quatro vamos colocar aqui cinco pisos sobre quatro dividido pelo co cello ao quadrado de 5 pi sobre quatro então não vamos esquecer que a gente tem esse - que esse - na verdade esse menos um é que a gente está multiplicando e aí a gente tem tudo isso daqui como resposta beleza a gente já chegou a resposta mas seria interessante encontrar um valor já que a gente tem condições de calcular o oceano de cinco pisos sobre quatro e o cosseno ao quadrado de cinco pisos sobre quatro também pra fazer isso a gente pode traçar que o círculo trigonométrica deixa eu colocar aqui então mais ou menos dessa forma as ou menos aqui eu tenho círculo trigonométrica não é muito bem uma circunferência não mas eu acho que dá para a gente observar que o que eu quero falar oque o nosso ângulo s cup sobre quatro ok aqui a gente tem e sobre quatro aqui a gente tem dois filhos sobre quatro aqui a gente tem três pisos sobre quatro aqui a gente tem quatro pistas sobre quatro e aqui a gente tem cinco pisos sobre quatro exatamente esse ângulo aqui cinco e sobre quatro a gente precisa calcular oceano de cinco pisos sobre quatro beleza e ponto aqui a gente tem condições de calcular tanto sendo quanto o cosseno desse ângulo e qual seria oceano e o cosseno desse ângulo como a gente está no 3º quadrante desse círculo trigonométrica um tanto sendo quanto cosseno serão negativos assim o cosseno desse ângulo vai ser igual a menos rígidos sobre dois e oceano desse ângulo também vai ser igual a menos raios de 2 sobre dois então aqui nós temos tanto com o oceano quanto sendo desse ângulo cinco pisos sobre quatro então vamos lá calcula tanto sendo quanto o oceano ao quadrado aqui inicialmente a gente tem o selo de cinco pontos sobre quatro certo oceano de cinco pessoas em quatro é igual a menos raios de 2 sobre dois então nós temos aqui - raiz de 2 sobre dois certo e aqui embaixo nós vamos ter o cosseno ao quadrado de cinco pisos sobre quatro ok tem a gente sabe que o cosseno de cinco pisos sobre quatro é igual a menos raiz de 2 sobre dois então nós vamos ter aqui - raiz de 2 sobre dois só que isso elevada ao quadrado afinal de contas a gente quer o cosseno elevada ao quadrado se a gente está elevando isso aqui é o quadrado o número negativo elevada ao quadrado se transforma em um número positivo ea raiz quadrada de 2 elevada ao quadrado é igual a 2 aqui no denominador nós vamos ter dois elevada ao quadrado e 2 elevada ao quadrado é igual a 4 2 / 42 sobre quatro a mesma coisa que meio ou seja 1 sobre dois beleza então o resultado disso aqui vai ser igual a quanto da gente tem um sinal negativo aqui em um sinal negativo aqui certo o número negativo x o outro número negativo se transforma em um número positivo então na verdade a gente vai ter aqui raiz de 2 sobre dois positivo isso dividido pelo conselho ao quadrado de 5 sobre quadro seja dividido por um sobre dois que é a mesma coisa que multiplicar pelo inverso disso ou seja 2 sobre um beleza a gente pode cortar esse dois com esse 2 ea raiz quadrada de / um é igual a raiz quadrada de 2 então a resposta da derivada dessa função em relação à x no ponto x igual ap sobre quatro que representa inclinação da reta tangente passando por esse ponto x sobre quatro vai ser igual a raiz quadrada de 2