Exemplo resolvido: derivada de sec(3π/2-x) usando a regra da cadeia

RKA3JV - Vamos dizer que eu tenha uma função "y" igual à secante de "(3π/2) - x". E vamos dizer que eu queira a derivada desta função. Ou seja, que eu queira derivar "y" em relação a "x", em, ou seja, no ponto "x = π/4". Então, nós temos aqui esta função "y" igual à secante de "(3π/2) - x". E o que nós queremos fazer, neste vídeo, é determinar a inclinação da reta tangente, neste ponto "x = π/4". Ok, a primeira coisa que nós temos que fazer aqui é determinar a derivada desta função. E uma coisa que a gente pode observar aqui é que nós temos uma função composta. Ou seja, a gente tem a secante de uma outra função. Inclusive, a gente pode chamar esta função aqui de u(x). Ou seja, u(x) é esta função (3π/2) - x. Nós podemos também derivar esta função aqui em relação a "x". Então, nós vamos calcular aqui u'(x). Bem, se nós estamos derivando em relação a "x", a gente sabe que 3π/2 é uma constante. E a derivada de uma constante é sempre igual a zero. E a derivada de -x vai ser igual -1. Lembre-se, que para fazer a derivada de um polinômio, basta utilizar a regra da potência. Aqui em cima a gente tem 1. A gente coloca este 1 aqui na frente. Então, a gente vai ter -1 vezes "x" elevado a (1 - 1), que a "x" elevado a zero, e todo número elevado a zero é igual a 1. Então, a derivada de u(x) é apenas igual a -1. Bem, agora sim a gente pode calcular esta derivada de "y" em relação a "x". Tudo bem, a gente tem aqui a secante de u(x), certo? Pelo fato de ser uma função composta, para a derivar essa função "y", a gente pode utilizar a regra da cadeia. Ou seja, derivar a função de fora e multiplicar pela derivada da função de dentro, que é u(x). Tudo bem, mas qual seria a derivada da secante? A gente já viu isso aqui em outros vídeos, mas não custa nada dar uma relembrada. A derivada em relação a "x" da secante de "x" é igual a sen x / cos² x. Então, como eu falei agora, a gente vai precisar utilizar a regra da cadeia para calcular a derivada de "y" em relação a "x". Derivando a função de fora, que é a secante, a gente vai ter "sen u(x)", neste caso, sobre "cos² u(x)". Então, vamos colocar isto aqui, A gente vai ter sen u(x) / cos² u(x). Vamos colocar aqui u(x) e aqui também u(x). A gente já poderia fazer a substituição, tudo bem? Mas eu quero deixar isto aqui deste jeito, para a gente conseguir observar passo a passo o que está acontecendo. Vezes a derivada de u(x), ou seja, u'(x). Beleza, agora, basta a gente substituir o u(x) aqui, e o u'(x) aqui. Vamos lá! Isto aqui vai ser igual a sen u(x) / cos² u(x), u(x), como a gente viu, é "(3π/2) - x". Então, a gente coloca aqui dentro do parênteses "(3π/2) - x". E aqui, também, "(3π/2) - x". Isto, vezes u'(x), que é igual a -1. Então, a gente multiplica tudo isso aqui por -1. Claro que eu já poderia colocar este -1 aqui na frente, mas eu quis deixar desta forma para que a gente consiga observar tudo o que está acontecendo aqui, passo a passo, ok? Beleza, então esta aqui é a derivada da secante de "(3π/2) - x". Só que a gente quer esta derivada em "x = π/4", certo? Então, a gente pode substituir este "x" aqui por π/4. Então, vamos fazer esta substituição. Vamos dizer que este "x" é igual a π/4. E a mesma coisa aqui, este "x" vai ser igual a π/4. E a gente vai ter aqui dentro desses parênteses, "(3π/2) - π/4". Então, vamos fazer isto aqui devagar aqui do lado, a gente tem "3π/2" menos "π/4". A gente precisa colocar os denominadores sendo iguais, então basta multiplicar por 2 aqui no numerador, e aqui também, que aí a gente vai ter 6π/4. Então, nós vamos ter "6π/4" menos "π/4", e "(6π/4) - (π/4)" é igual a 5π/4. Então, dentro dos nossos parênteses aqui, a gente vai ter 5π/4. Então, a derivada de "y" em relação a "x", neste ponto "x = π/4", vai ser igual a menos, porque a gente tem este "vezes -1" aqui, o seno de 5π/4, vamos colocar aqui 5π/4, dividido pelo cos² 5π/4. Então, não vamos esquecer que aqui a gente tem este "menos", e este menos, na verdade, é este -1 aqui que a gente está multiplicando. E aí, a gente tem tudo isso aqui como resposta. Beleza, a gente já chegou à resposta, mas seria interessante encontrar um valor, já que a gente tem condições de calcular sen 5π/4 e cos² 5π/4 também. Para fazer isso, a gente pode traçar o círculo trigonométrico. Deixe-me colocar aqui então, mais ou menos dessa forma, mais ou menos aqui eu tenho o círculo trigonométrico. Não é muito bem uma circunferência, não. Mas eu acho que dá para a gente observar o que eu quero falar, ok? O nosso ângulo é 5π/4. Aqui a gente tem π/4, aqui a gente tem 2π/4, aqui a gente tem 3π/4, aqui a gente tem 4π/4, e aqui, a gente tem 5π/4. Exatamente esse ângulo aqui, 5π/4. A gente precisa calcular sen 5π/4. Beleza, nesse ponto aqui a gente tem condições de calcular tanto o seno quanto o cosseno desse ângulo. E qual seria o seno e o cosseno desse ângulo? Como a gente está no terceiro quadrante desse círculo trigonométrico, tanto o seno quanto o cosseno serão negativos. Assim, o cosseno desse ângulo vai ser igual a menos raiz de 2 sobre 2, e o seno desse ângulo também vai ser igual a menos raiz de 2 sobre 2. Então aqui nós temos tanto o cosseno quanto o seno desse ângulo 5π/4. Então vamos lá, calcular tanto o seno quanto o cosseno ao quadrado aqui. Inicialmente, a gente tem sen 5π/4, certo? O sen 5π/4 é igual a menos raiz de 2 sobre 2, então, nós temos aqui -√2/2, certo? E aqui embaixo nós vamos ter cos² 5π/4, ok? A gente sabe que cos 5π/4 = -√2/2, então, nós vamos ter aqui -√2/2, só que isso elevado ao quadrado, afinal de contas a gente quer o cosseno elevado ao quadrado. Se a gente está elevando isso aqui ao quadrado, um número negativo elevado ao quadrado se transforma em um número positivo. E a raiz quadrada de 2 elevada ao quadrado é igual a 2. Aqui no denominador nós vamos ter 2², e 2² é igual a 4. 2 dividido por 4, ou 2/4, é a mesma coisa que meio, ou seja, 1/2. Beleza, então o resultado disso aqui vai ser igual a quanto? A gente tem um sinal negativo aqui, e um sinal negativo aqui, certo? Um número negativo multiplicado por outro número negativo se transforma em um número positivo. Então, na verdade, a gente vai ter aqui √2/2, positivo, isso dividido pelo cosseno ao quadrado de 5π/4 ou seja, dividido por 1/2, que é a mesma coisa que multiplicar pelo inverso disso, ou seja 2/1. Beleza, a gente pode cortar esse 2 com esse 2, e a raiz quadrada de 2/1 é igual à raiz quadrada de 2. Então, a resposta da derivada dessa função em relação a "x" no ponto "x = π/4", que representa a inclinação da reta tangente passando por esse ponto "x = π/4", vai ser igual à raiz quadrada de 2.