Derivadas de segunda ordem (equações implícitas): calcular a derivada

o Olá meu amigo minha amiga tudo bem com você seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo daquela Academy Brasil e nesse vídeo vamos resolver um exercício sobre derivadas segunda esse exercício diz o seguinte Considere a curva dada pela equação Y Ao Cubo menos x y = 2 temos que a derivada primeira de y em relação a x = isso aqui então programa já resolveu essa parte aqui para gente avalia segunda derivada de y em relação a x no ponto da curva onde x é igual a um negativo e y = 1 então meu amigo minha amiga pausa esse vídeo e veja se você consegue fazer isso bem vamos fazer isso juntos agora então primeiro vamos escrever aqui a primeira derivada então de y a derivada de y em relação a x = y sobre isso o som ao quadrado menos x bens Estamos nos preocupando com a segunda derivada Então a gente tem que calcular a derivada Em ambos os lados isso aqui então vamos apenas fazer isso vamos colocar o operador da derivada Em ambos os lados aqui aqui no lado esquerdo Claro que vamos conseguir a segunda derivada de y em relação a x mas o que temos aqui do lado direito bem Existem várias formas de fazer isso mas para algo assim a regra do quociente provavelmente é o melhor caminho para lidar com isso as vezes eu até falo aqui que a regra do quociente é apenas uma variação da regra do produto o que de fato é mas eu sou bastante útil nisso aqui que nós temos tem a regra diz que isso é que vai ser igual a derivada ou do numerador em relação a x então isso aqui vai ser derivada de y em relação a x o denominador que nesse caso é 3 y ao quadrado menos x menos 1 é porque é y vezes a derivada do denominador em relação a x bem qual é a derivada desse denominador em relação a x a derivada de três y ao quadrado em relação a x Vai ser 6 Y Eu apenas usei aqui a regra da potência mas aí a gente tem que multiplicar isso também com a derivada de y em relação a x que nesse caso é a regra da cadeia tudo que eu fiz agora foi tirar a derivada disso em relação a x que a derivada disso aqui em relação à Y vezes a derivada de y em relação a x e tudo isso vem direto da regra da cadeia aí a gente coloca aqui menos a derivada disso em relação a x que vai ser igual a 1 acabou essa parte mais lembre-se estamos no meio da regra do quociente bem aqui aí colocamos tudo isso é que sogro denominador elevado ao quadrado ou seja temos tudo isso sobre três y ao quadrado menos x o elevador quadrado agora para nossa sorte o problema pediu para avaliar isso em um ponto ao invés de ter que fazer um monge de simplificações algébricas aqui então podemos fazer isso aqui sendo assim quando x = 1 negativo Y = 1 bem antes de fazer qualquer coisa qual é o valor de dydx substituindo os valores que temos de x e y Na expressão da derivada temos que a derivada de y em relação a x vai ser igual a 1 sobre 3 vezes um ao quadrado que é 3 - um negativo nesse caso é que a gente vai ter mais um sendo assim temos que dydx é igual a um quarto e assim toda essa expressão vai ficar assim eu posso escrever que a segunda derivada de y em relação a x = bem sabemos que isso aqui é igual a um quarto Então temos um quatro vezes 3 vezes um dado que é apenas três menos um negativo então nós temos aqui mais um então a gente pode manter esse menos um aqui fora do parênteses isso vezes 6 x 1 x 1 quarto aí menos um you tudo isso sobre vamos ver o que vai ser isso aqui temos três vezes y ao quadrado Y = 1 então só vai ser 33 - um negativo Então a gente vai ter aqui três mais um e tudo isso é o quadrado bem quanto que vai ser isso aqui em simplificando aqui temos um 4 x 4 aí vai ser apenas um e vamos ver aqui aqui a gente tem um e meio menos um então isso vai ser apenas meio E aí vamos colocar tudo isso aqui sobre 16 Já que a gente tem 4 ao quadrado então isso vai ser igual a temos um menos meio que é igual a meio sobre 16 que é a mesma coisa que um sobre duas vezes 16kg é um sobre 32 e pronto meu amigo minha amiga terminamos Eu espero que você tenha compreendido tudo direitinho que conversamos aqui e mais uma vez eu quero deixar para você um grande abraço e até a próxima