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Cálculo diferencial
Curso: Cálculo diferencial > Unidade 3
Lição 9: Derivadas de segunda ordem- Derivadas de segunda ordem
- Derivadas de segunda ordem
- Derivadas de segunda ordem (equações implícitas): encontre a expressão
- Derivadas de segunda ordem (equações implícitas): calcular a derivada
- Derivadas de segunda ordem (equações implícitas)
- Revisão sobre derivadas de segunda ordem
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Derivadas de segunda ordem (equações implícitas): calcular a derivada
Dada a primeira derivada de uma equação implícita em x e y, calcule a segunda derivada em um certo ponto. Problema retirado da prova de Cálculo Avançado AB.
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Transcrição de vídeo
RKA4JL - Olá, meu amigo ou minha amiga!
Tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda
a mais um vídeo da Khan Academy Brasil. Neste vídeo vamos resolver um exercício
sobre derivada segunda. Esse exercício diz o seguinte: considere a curva dada pela
equação y³ menos xy é igual a 2. Temos que a derivada primeira de y em relação a x
é igual a isso aqui. Então o problema já resolveu essa parte para a gente. Avalie a segunda derivada de y em relação a x
no ponto da curva onde x é igual a -1 e y é igual a 1. Então, meu amigo ou minha amiga,
pause esse vídeo e veja se você consegue fazer isso. Vamos fazer isso juntos agora? Então primeiro vamos escrever aqui a primeira derivada. dy, a derivada de y, em relação a x
é igual a y sobre (3y² menos x). Se estamos nos preocupando com a segunda derivada, então a gente tem que calcular a derivada em ambos os lados disso aqui. Então vamos apenas fazer isso. Vamos colocar o operador da derivada em ambos os lados. Aqui no lado esquerdo é claro que vamos conseguir
a segunda derivada de y em relação a x, mas o que temos aqui do lado direito? Existem várias formas de fazer isso, mas para algo assim a regra do quociente
provavelmente é o melhor caminho para lidar com isso. Às vezes eu até falo aqui que a regra do quociente é apenas uma variação da regra do produto, o que de fato é, mas isso é bastante útil para isso que nós temos. A regra diz que isso aqui será igual
a derivada do numerador em relação a x, então isso aqui vai ser derivada de y em relação a x, vezes o denominador, que nesse caso é 3y² menos x, menos o numerador, que é y,
vezes a derivada do denominador em relação a x. Qual é a derivada desse denominador em relação a x? A derivada de 3y² em relação a x vai ser 6y. Eu apenas usei a regra da potência, mas a gente tem que multiplicar isso também
com a derivada de y em relação a x, que nesse caso é a regra da cadeia. Tudo que eu fiz foi tirar a derivada disso em relação a x,
que é a derivada disso aqui em relação a y vezes a derivada de y em relação a x. Tudo isso vem direto da regra da cadeia. Então a gente coloca aqui: menos a derivada disso em relação a x, que vai ser igual a 1. Acabou essa parte, mais lembre-se
que estamos no meio da regra do quociente, bem aqui. Colocamos tudo isso aqui
sobre o denominador elevado ao quadrado, ou seja, temos tudo isso sobre 3y² menos x
e isso tudo elevado ao quadrado. Agora, para nossa sorte, o problema pediu
para avaliar isso em um ponto, ao invés de ter que fazer um monte
de simplificações algébricas. Então podemos fazer isso aqui. Sendo assim, quando x é igual a 1 negativo,
y é igual a 1... Antes de fazer qualquer coisa,
qual é o valor de (dy sobre dx)? Substituindo os valores que temos
de x e y na expressão da derivada, temos que a derivada de y em relação a x
vai ser igual a 1 sobre (3 vezes 1²), que é 3, menos -1, nesse caso a gente vai ter mais 1. Sendo assim, temos que (dy sobre dx) é igual a ¼
e toda essa expressão vai ficar assim. Eu posso escrever que a segunda derivada de y
em relação a x é igual a ... Sabemos que isso aqui é igual a ¼,
então temos ¼ vezes 3 vezes 1², que é apenas 3, menos -1, então nós temos aqui mais 1. Então a gente pode manter esse -1 fora do parênteses. Isso vezes 6 vezes 1 vezes ¼, e então -1,
e tudo isso sobre… Vamos ver o que vai ser isso aqui. Temos 3 vezes y², e y é igual a 1. Então só será 3,
3 vezes -1. Assim a gente vai ter 3 mais 1
e tudo isso ao quadrado. E quanto que vai ser isso aqui? Simplificando, temos ¼ vezes 4, que será apenas 1. Vamos ver aqui: temos 1½ menos 1,
então isso vai ser apenas ½. E vamos colocar tudo isso aqui sobre 16,
já que a gente tem 4². Então isso vai ser igual a... Temos 1 menos ½,
que é igual a ½ sobre 16, que é a mesma coisa que 1 sobre 2 vezes 16,
que é 1 sobre 32. Pronto, meu amigo ou minha amiga.
Terminamos! Eu espero que você tenha compreendido tudo direitinho
o que conversamos aqui, e mais uma vez eu quero deixar para você
um grande abraço e até a próxima!