Derivadas de segunda ordem (equações implícitas): encontre a expressão

Oi e aí pessoal tudo bem nessa aula nós vamos estudar derivadas de segunda ordem em equações implícitas E para isso nós temos a seguinte equação Y ao quadrado menos x ao quadrado = 4 e o que queremos é encontrar a derivada de segunda ordem de y em relação a x Isso vai ser igual a alguma expressão que dependa do X e do Y e eu sugiro que você pode o vídeo e tente encontrar isso aqui e pode ser que você tenha tentado resolver essa equação em termos de y Mas isso não é o ideal porque vai dar algo bem complicado então o interessante nesse caso é utilizar uma diferenciação implícita que é uma aplicação da regra da cadeia a primeira coisa que temos que fazer é encontrar a derivada de primeira ordem de e em relação a x e eu posso aplicar a derivada em relação a x Em ambos os membros dessa equação Então desse lado a derivada em relação a x e deixou a pagar esse quatro aqui porque vai faltar espaço e aí sim eu aplico a derivada em relação a x do número 4 e vamos resolver isso para calcular a derivada em relação a x desses Y ao quadrado aqui devemos utilizar a regra da cadeia que já vimos em aulas passadas basicamente nós pegamos a derivada de y ao quadrado em relação a y e vai dar 2Y e multiplicamos pela derivada de y em relação AX e de novo isso é uma aplicação da regra da cadeia se você não entendeu essa parte eu sugiro que você deu uma revisada nos vídeos passados e nós vamos subir é isso pela derivada em relação a x de x ao quadrado e que vai ser igual a 2x e isso vai ser igual a derivada em relação a x do número 4 e que é igual a zero e agora Finalmente nós podemos encontrar essa derivada aqui nós podemos somar 2x a ambos os membros dessa equação E aí vamos ficar com 2 Y vezes a derivada de y em relação a x e isso vai ser igual a 2x e agora eu posso dividir ambos os membros dessa equação por 2 Y com isso eu posso cancelar esse 2Y e esse 2Y e também Cancelar esse Dois com esse dois e aí vamos perder Y dividido por D x = x / y e agora o próximo passo é encontrar a derivada dessas duas coisas aqui em relação a x e com isso vamos conseguir encontrar a derivada de segunda ordem e claro aqui é o poderia utilizar a regra do consciente mas muitas pessoas acabam esquecendo ela então eu posso transformar o lado direito em uma potência é escrevendo sem sobre Y como 6 x y elevado a menos 1 agora sim eu vou aplicar a derivada em relação a x Em ambos os membros dessa equação e eu vou reescrever aqui em cima então a derivada da função em relação à cheio de dydx é igual a derivada em relação a x de 6 x y elevado a menos 1 e se você perceber o lado esquerdo é a derivada de segunda ordem em relação a x isso porque se você multiplicar essas duas coisas você vai ter aderido a segunda ordem em relação a x Isso vai ser igual a esse lado direito e nós podemos aplicar a regra do produto calculando o primeiro a derivada em relação a x desse x que vai ser igual a 1 x y elevado a menos 1 mais essa função vezes a derivada em relação a x dessa função e para derivar isso em relação a x nós utilizamos a regra da cadeia que vai ser menos um vezes Y elevado a menos 2 x de y sobre deixe Lembrando que para derivar o y elevado a menos 1 nós aplicamos a regra da potência aqui e olha que interessante a derivada de y em relação a x = x sobre Y por tanto no lugar disso aqui eu posso colocar x sobre isso Oi e agora só resta simplificar essa parte portanto a derivada de segunda ordem de y em relação a x ao quadrado Isso aqui vai ser igual a 1 sobre y e simplificando toda essa parte nós vamos ter esse sinal de menos é um sinal de mais aqui ficando com o sinal de menos e aqui nós vamos ter seis vezes Y elevado a menos 2 vezes essa fração ficando com x ao quadrado sobre y elevado a 3 ou seja Y elevado a menos 2 vai inverter ficando com um sobre y ao quadrado e depois vamos multiplicar por esse Y ficando com y Ao Cubo e Finalmente nós descobrimos a derivada de segunda ordem de y em relação a x e eu espero que essa aula tenha te ajudado e até a próxima Oi Val