Derivadas de segunda ordem (equações implícitas): encontre a expressão

RKA4JL - E aí, pessoal! Tudo bem? Nesta aula nós vamos estudar derivadas de segunda ordem em equações implícitas. Para isso nós temos a seguinte equação: y² menos x² igual a 4. O que queremos é encontrar a derivada de segunda ordem de y em relação a x. Isso vai ser igual a alguma expressão que dependa do x e do y. Eu sugiro que você pause o vídeo e tente encontrar isso aqui. Pode ser que você tenha tentado resolver essa equação em termos de y, mas isso não é o ideal, porque vai dar algo bem complicado. Então o interessante neste caso é utilizar uma diferenciação implícita, que é uma aplicação da regra da cadeia. A primeira coisa que temos que fazer é encontrar a derivada de primeira ordem de y em relação a x. Eu posso aplicar a derivada em relação a x em ambos os membros dessa equação. Então desse lado a derivada em relação a x (deixe-me apagar esse 4 porque vai faltar espaço). Agora eu aplico a derivada em relação a x do número 4 e vamos resolver isso. Para calcular a derivada em relação a x desse y², devemos utilizar a regra da cadeia que já vimos em aulas passadas. Basicamente nós pegamos a derivada de y² em relação a y, que vai dar 2y, e multiplicamos pela derivada de y em relação a x (e de novo, isso é uma aplicação da regra da cadeia. Se você não entendeu essa parte, eu sugiro que você dê uma revisada nos vídeos passados) e nós vamos subir isso pela derivada em relação a x de x², que vai ser igual a 2x, e isso vai ser igual à derivada em relação a x do número 4, que é igual a zero, e agora finalmente nós podemos encontrar essa derivada aqui. Nós podemos somar 2x a ambos os membros dessa equação. Vamos ficar com 2y vezes a derivada de y em relação a x e isso vai ser igual a 2x. Agora eu posso dividir ambos os membros dessa equação por 2y. Com isso eu posso cancelar esse 2y e esse 2y, também cancelar esse 2 com esse 2 e ter dy dividido por dx igual a x dividido por y. Agora o próximo passo é encontrar a derivada dessas duas coisas em relação a x. Com isso vamos conseguir encontrar a derivada de segunda ordem. Claro, aqui eu poderia utilizar a regra do quociente, mas muitas pessoas acabam esquecendo dela, então eu posso transformar o lado direito em uma potência reescrevendo x sobre y como x vezes y⁻¹. Agora sim eu vou aplicar a derivada em relação a x em ambos os membros dessa equação. Eu vou reescrever aqui em cima. Então a derivada da função em relação a x de dy/dx é igual a derivada em relação a x de x vezes y⁻¹. Se você perceber, o lado esquerdo é a derivada de segunda ordem em relação a x. Isso porque se multiplicar essas duas coisas, você vai ter a derivada de segunda ordem em relação a x. Isso vai ser igual a esse lado direito que nós podemos aplicar a regra do produto calculando primeiro a derivada em relação a x desse x, que vai ser igual a 1, vezes y⁻¹ mais essa função vezes a derivada em relação a x dessa função. Para derivar isso em relação a x, nós utilizamos a regra da cadeia que vai ser -1 vezes y⁻² vezes dy/dx. Lembrando que para derivar y⁻¹ nós aplicamos a regra da potência aqui. Veja que interessante: a derivada de y em relação a x é igual a x sobre y, portanto no lugar disso aqui eu posso colocar x sobre y. E agora só resta simplificar essa parte. Portanto a derivada de segunda ordem de y em relação a x², isso aqui, vai ser igual a 1 sobre y, e simplificando toda essa parte nós vamos ter esse sinal de menos e um sinal de mais, ficando com o sinal de menos. Aqui nós vamos ter x vezes y⁻² vezes essa fração ficando com x² sobre y³, ou seja, y⁻² vai inverter ficando com 1 sobre y² e depois vamos multiplicar por esse y, ficando com y³. Finalmente nós descobrimos a derivada de segunda ordem de y em relação a x. Eu espero que essa aula tenha ajudado vocês e até a próxima, pessoal!