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Exemplo resolvido: derivada de ln(√x) usando a regra da cadeia

f(x)=ln(√x) é uma composição das funções ln(x) e √x, portanto, podemos calcular sua derivada usando a regra da cadeia.

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Transcrição de vídeo

RKA1JV - Nós temos que f(x) é igual ao logaritmo natural da raiz quadrada de "x". O que nós vamos fazer, neste vídeo, é encontrar a derivada de "f". A chave para resolver esse problema é reconhecer que "f" é composta por duas funções. Nós podemos diagramar isto. O que está acontecendo aqui? Se você inserir um valor "x" em nossa função f(x), o que nós devemos fazer primeiro? Você tem que tirar a raiz quadrada desse valor "x". Se você começa com um valor "x", se você insere um valor "x", a primeira coisa que você faz é tirar a raiz quadrada do valor "x" que foi inserido para você produzir a raiz quadrada de "x". E então o que nós fazemos? Você tira a raiz quadrada, então, você tira o logaritmo natural desse valor. Dessa forma, você pode ver que o valor inserido pode ser representado como uma nova função. Função esta que leva em consideração o logaritmo natural de qualquer valor que tenha sido inserido na função. Eu estou desenhando aqui pequenos quadrados para representar o que foi inserido na função. E o que essa equação produz? Você produz o logaritmo natural da raiz quadrada de "x", que é igual a f(x). Assim você pode ver f(x) como essas duas funções colocadas aqui. Podemos ver f(x) como a combinação dessas duas funções bem aqui. Isto é f(x), o que é, essencialmente, a composição de duas funções. Você está inserindo valor em uma função e retirando esse valor em uma outra função. Você tem uma função "u" bem aqui que tira a raiz quadrada de qualquer valor "x" que seja inserido. O u(x) é igual a raiz quadrada de "x". Então, você retira uma função na saída e coloca uma nova função, que você pode chamar de "v". O que "v" faz? "v" tira o logaritmo natural de qualquer valor que seja inserido na função. Neste caso, no caso de "f", ou no caso de como eu diagramei isso, "v" está retirando um logaritmo natural do número inserido. Que acontece quando a raiz quadrada de "x" é inserida. Então, a função de saída é o logaritmo natural da raiz quadrada de "x". Se você quer descrever v(x) como inserção, deverá dizer que essa função é um logaritmo natural de "x". Então, v(x) é igual ao logaritmo natural de "x". Como você pode ver aqui, f(x), que eu colori com um código de cores distintas, é o mesmo que f(x) igual ao logaritmo natural da raiz quadrada de "x". Isto é v(u) de "x". Essa é uma composição que diz: "ok, se eu estou tentando encontrar uma derivada aqui, a regra da cadeia pode ser muito, muito, muito útil. E a regra da cadeia que nos diz que é f'(x) vai ser igual à derivada de, como você viu, a função de saída com respeito à função de entrada. O que vai ser v' de u(x), v'u(x) vezes a derivada da função inserida com respeito a "x". Isto é o u'(x). Como nós vamos avaliar essas coisas? Nós sabemos como pegar a derivada de u(x) e v(x). u'(x) aqui, vai ser igual a, lembre-se que a raiz quadrada de "x" é apenas a mesma coisa que "x" elevado a 1/2. Nós podemos usar a regra da potência para quebrar em 1/2x e retirar os expoentes. Isso vai ser 1/2 menos 1 que é -1/2 negativo elevado. Nós vamos ter 1/2x elevado a -1/2. E qual vai ser v'(x)? A derivada do logaritmo natural de "x" é 1/x, nós mostramos isso em outros vídeos. Agora nós sabemos o que u'(x) é. E nós sabemos o que é v'(x). Mas o que é v' de u(x)? v'(u(x)), nós iremos substituir isso, deixe-me escrever isso um pouco menor, Nós iremos substituir isso com o u(x), então v'(u(x)) vai ser igual a 1/u(x) que é igual a 1 sobre u(x) é apenas a raiz quadrada de "x", então, 1 sobre a raiz quadrada de "x". Isso aqui nós vamos ter que transformar, nós vamos substituir por 1 sobre a raiz quadrada de "x" e u'(x), nós iremos substituir por 1/2x elevado a -1/2. Mas antes de escrever isso, nós poderíamos reescrever 1/2x elevado a -1/2 como 1/2 vezes 1 sobre "x" elevado a 1/2 que é a mesma coisa que 1/2 vezes 1 sobre a raiz quadrada de "x". O que pode ser reescrito como 1 sobre 2 raiz quadrada de "x". Como ficará o nosso f'(x) aqui? Isso vai ser igual a v'(u(x)) é 1 sobre a raiz quadrada de "x", vezes u'(x), que é 1 sobre 2 vezes a raiz quadrada de "x". Agora, isso será igual a quanto? Isso vai ser igual a, neste ponto, nós só temos que fazer a resolução algébrica disso. Nós vamos ter 2 vezes a raiz quadrada de "x", vezes a raiz quadrada de "x", é apenas "x". A nossa resolução foi simplificada para 1 sobre 2x. Eu espero que isso faça sentido para você. Eu, intencionalmente, diagramei isto aqui, só para começar a exercitar o seu cérebro, para reconhecer funções compostas, e então fazer um pouco mais de sentido essas expressões da regra da cadeia. Você provavelmente verá isso nas suas aulas de Cálculo ou no seu livro didático de Cálculo. Mas se você praticar um pouco mais, você será capaz de fazer isso. Você fará isso sem ter que reescrever tudo isso aqui, você irá dizer: "ok, eu tenho aqui uma função composta." Este é o logaritmo natural da raiz quadrada de "x", isto é v(u(x)). O que eu quero pegar é a derivada da função de saída que diz respeito à função de entrada. A derivada do logaritmo natural de alguma coisa, com respeito a essa alguma coisa, é 1 sobre essa alguma coisa. Então é 1 sobre essa alguma coisa. A derivada do logaritmo natural, com respeito a essa alguma coisa, é 1 sobre esta alguma coisa. Foi isso que nós fizemos aqui. Uma forma de pensar a respeito disso é pensar qual deve ser o logaritmo natural de "x". Isso será 1 sobre "x", mas isto não é o logaritmo natural de "x", isto é 1 sobre a raiz quadrada de "x". Se você tira a derivada da função de saída, com respeito à função de entrada, se você multiplicar isso vezes a derivada da função de entrada, com respeito a "x", nós teremos 1 sobre 2x. E nós terminamos.