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Cálculo diferencial
Curso: Cálculo diferencial > Unidade 4
Lição 3: Aplicações de derivadas não relacionadas a movimentoCusto marginal e cálculo diferencial
Em Economia, o conceito de custo marginal pode ser muito bem compreendido com a derivada. Versão original criada por Sal Khan.
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Transcrição de vídeo
RKA2G - Vamos dizer que eu tenha uma fábrica
que esteja produzindo alguma coisa e que eu queira fazer um modelo matemático
que relacione o custo de produção com a quantidade de produção. Para construir esse modelo, a gente
pode começar plotando um gráfico que relacione essas duas variáveis. Por exemplo, a gente poderia colocar o eixo "y" sendo o custo para produzir
uma certa quantidade, esse custo em função
da quantidade produzida. E aqui, no eixo "x", a gente teria a quantidade produzida. Vamos dizer que o custo de produção
em função da quantidade produzida tenha um gráfico semelhante a este. Claro que, mesmo que eu não produza
nada, ainda vai ter um custo. Pode ser o aluguel do galpão
que eu estou utilizando, alguns funcionários que estão trabalhando mesmo
nesse período em que eu não estou produzindo... Vamos dizer, então, que este custo
que eu tenho, mesmo sem produzir nada, seja igual a mil reais. Então, aqui a gente tem um custo, em que esse
custo está em função da quantidade produzida. Aí vamos dizer que, ao produzir 100
quantidades desse produto, eu tenha um custo igual a 1.300 reais. Claro, estou apenas querendo
me preocupar com as ideias do cálculo, não tanto com termos de economia. Mas, se você perceber bem, à medida
que a gente produz mais produtos, o custo vai ficando cada vez maior. Isso faz muito sentido, porque pode ser que
eu esteja produzindo alguma coisa em que essa coisa vai ficando cada vez
mais rara no mercado, ou seja, um produto em que a matéria-prima
vai se tornando escassa na natureza e, à medida que eu for produzindo mais, esse produto vai se tornando cada vez
mais caro para eu adquirir. Então, quanto mais produto
eu vou consumir, obviamente, mais caro vai ficar
o custo de produção. Pelas ideias de cálculo, vamos dizer que,
neste ponto aqui, eu queira determinar a inclinação
da reta tangente a este ponto. Como a gente consegue determinar
a inclinação desta reta tangente? Para calcular a inclinação desta reta tangente, basta calcular a variação no eixo "y" pela variação no eixo "x". Então, a gente poderia pegar a variação do custo pela variação da quantidade produzida. Assim eu consigo determinar a inclinação
dessa reta tangente. Mas, se eu queira saber a inclinação
neste ponto específico, nem um pouquinho a mais
e nem um pouquinho a menos, ou seja, neste ponto, mesmo sem o 1.300. Para fazer isso, a gente poderia pegar
a função C(q) e derivar em relação a "q". Assim, vamos conseguir determinar a inclinação
da reta tangente neste ponto específico. Que ponto específico seria este? Seria neste ponto em que a quantidade
produzida é igual a 100. Por que é interessante fazer isso? É interessante porque, com isso, a gente vai conseguir determinar o que
a gente chama de "custo marginal". Saber o custo marginal é algo interessante porque vai nos dizer o custo
de produção do produto naquele ponto específico em que a gente
está produzindo aquela certa quantidade. Vamos supor que a nossa fábrica
seja de suco de laranja. E que, neste momento, a gente esteja produzindo
uma certa quantidade de suco de laranja em que o custo de produção
de cada caixa do suco de laranja seja igual a 6 reais. Obviamente que, se o custo for 6 reais, eu posso vender essa caixa
de suco de laranja por 7 reais. Assim, eu vou estar saindo no lucro. No entanto, à medida que eu aumento
a quantidade de produção, o custo de produção
vai ficando cada vez maior. Mas, supondo que eu pegue aqui
um outro ponto, em que eu esteja produzindo
uma quantidade muito grande, em que o custo de produção agora
está saindo a 10 reais por cada caixa. Se eu estou agora gastando 10 reais
para produzir cada caixa, não é mais interessante vender a 7 reais, porque aí eu vou estar saindo no prejuízo. Então, não é interessante produzir
toda essa quantidade de suco de laranja. E também não vai valer vender mais caro. Então, qual é a ideia aqui?
Procurar um ponto de equilíbrio, em que eu consiga produzir
uma certa quantidade de produtos, que no nosso exemplo é o suco de laranja, conseguir vender a um preço acessível, de uma forma que eu tenha um lucro. E uma forma de conseguir fazer isso é através desta derivada aqui. Da derivada do custo de produção em relação à quantidade produzida. Ou, simplesmente, C'(q). Isso, como eu falei, vai me dizer
o custo marginal. E isso representa para a gente a taxa
de variação de custo de produção em relação à quantidade de produção. Se tivesse uma relação constante aqui, ou seja, se o resultado disso não se alterasse, a gente iria poder produzir
qualquer quantidade, que o custo de produção teria
uma relação direta, ou seja, linear, com essa quantidade produzida. Nesse caso, a caixa de suco de laranja sempre teria um custo de 6 reais. Assim, eu poderia vender infinitamente
a 7 reais. Só que não é o que acontece. A gente não tem laranjas ilimitadas no mundo. À medida que a gente produz mais, a quantidade de produtos naturais
vai diminuindo e com isso o custo de produção
vai se tornando cada vez maior. Se observar aqui, você vê até isso. Se eu produzir apenas um átomo
a mais desse produto, esse átomo a mais já vai fazer com que o custo
de produção desse produto fique maior. E a gente consegue modelar isso através
da taxa de variação do custo de produção em relação à quantidade produzida, que é a derivada da função que relaciona
o custo de produção com a quantidade produzida. O legal, também, é que você consegue fazer
esses modelos para diversas outras coisas, como, por exemplo, o lucro marginal
ou a receita marginal.