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Cálculo diferencial
Curso: Cálculo diferencial > Unidade 4
Lição 1: Significado de derivada no contextoAnálise de problemas envolvendo taxas de variação em contextos aplicados
O cálculo diferencial diz respeito à taxa de variação instantânea. Vamos ver como isso pode ser usado para resolver problemas reais.
Uma maneira de interpretar a derivada de uma função é que é a taxa de variação instantânea de em . Vejamos como essa interpretação pode ser usada para resolver problemas.
Digamos que um tanque de água esteja sendo enchido e o volume, em litros, de água no tanque depois de segundos é dado pela função linear .
O coeficiente angular da função, , representa sua taxa de variação. Em outras palavras, o tanque está sendo enchido a uma taxa de litros por segundo.
A taxa de variação de uma função linear é sempre constante, o que a torna relativamente fácil de analisar.
Agora, digamos que um tanque diferente esteja sendo enchido e que agora a função do volume não é linear.
Observe como o crescimento do gráfico é gradual no início e passa a ser mais íngreme no final. A taxa de variação de não é constante.
Se quisermos analisar a taxa de variação de , podemos falar sobre sua taxa de variação instantânea em determinado momento. A taxa instantânea variação de uma função é dada por sua derivada.
Por exemplo, . Matematicamente, isso significa que a inclinação da reta tangente ao gráfico de quando é . O que isso significa no contexto do nosso tanque de água?
A inclinação da reta tangente indica a inclinação da curva naquele ponto específico no tempo. Como já vimos como a inclinação nos dá a taxa de variação, podemos interpretar da seguinte forma:
Emsegundos, o tanque está sendo enchido a uma taxa de litro por segundo.
Perceba algumas coisas sobre essa interpretação:
Primeiramente, a taxa é dada em litros por segundo. As unidades de uma derivada são sempre uma razão da quantidade dependente (por exemplo, litros) sobre a quantidade independente (por exemplo, segundos).
Em segundo lugar, a taxa é dada para um ponto específico no tempo (ou seja, segundos). Isso se dá porque ela é instantânea. Pegue outro ponto no tempo e a taxa pode ser diferente. Observe um intervalo de tempo e a taxa não será constante.
Erro comum: esquecer de incluir unidades ou usar unidades incorretas
Lembre-se: quando analisamos problemas em contextos aplicados, devemos nos lembrar de sempre usar unidades.
Por exemplo, no Problema 2, recebeu uma entrada que foi medida em semanas e nos deu uma saída que é medida em centímetros. Sua derivada também nos dá uma entrada medida em semanas, mas sua saída é a taxa centímetros por semana.
Outro erro comum: usar frases que se referem "ao longo de um período de tempo" em vez de "em determinado momento"
Derivadas sempre tratam de taxas de variação instantâneas. Portanto, quando estamos interpretando a taxa de variação de uma função, dado o valor de sua derivada, estamos sempre nos referindo a um ponto específico em que essa taxa se aplica.
Como resolver problemas que envolvem taxas de variação instantâneas
Considere o problema a seguir:
Carlos tomou a dose inicial de um remédio. A quantidade de remédio, em miligramas, na corrente sanguínea de Carlos depois dehoras é dada pela seguinte função:
Qual é a taxa de variação instantânea da quantidade de medicamento restante depois dehora?
A primeira coisa que devemos pensar ao ler esse problema é que temos que encontrar uma taxa de variação instantânea de uma grandeza. Isso significa que vamos trabalhar com derivadas.
A única função cuja derivada nós vamos usar é , mas vamos nos assegurar que é isso que queremos: nos dá a quantidade de medicação na corrente sanguínea de Carlos ao longo do tempo e temos que encontrar a taxa de variação instantânea dessa quantidade. Então sim, nós queremos :
Temos que encontrar a taxa de variação instantânea depois de hora, o que significa que queremos calcular em :
Finalmente, precisamos nos lembrar de usar unidades. Como nos dá uma quantidade em miligramas para uma determinada entrada em horas, a unidade com que medimos é miligramas por hora.
Concluindo, a taxa instantânea de mudança do restante da medicação depois de hora é de miligramas por hora.
Quer praticar mais? Tente este exercício.
Erro comum: resolver a função original em vez da derivada
Lembre-se: quando nos perguntam sobre a taxa de variação de uma função , queremos procurar a derivada . Calcular em determinado ponto não nos dará nenhuma informação sobre a taxa de variação de nesse ponto.
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- esta acumuando neve na forma de uma bola esferica,se o formato da bola é mantido, determine a razão instatanea de variação
(a) do volume de neve em relação ao raio da bola, no instante que esse é 8 cm
(b) De variação da area da superficie da bola em relação ao seu diametro, no instante em que o raio e 3cm(2 votos) - Tenho um restaurante e no ano vendo 1200 latas de um refrigerante, sabendo que o custo de armazenar uma lata é de 8r$, com custo de trasnporte de 75r$, e consederando o estoque medio para resolver essa questão.
Qual a melhor opção para fazer pedidos, um numero de pedidos maiores ou menores?(1 voto)