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Cálculo diferencial

Curso: Cálculo diferencial > Unidade 4

Lição 1: Significado de derivada no contexto

Análise de problemas envolvendo taxas de variação em contextos aplicados

O cálculo diferencial diz respeito à taxa de variação instantânea. Vamos ver como isso pode ser usado para resolver problemas reais.

Uma maneira de interpretar a derivada

f^{'}

de uma função

f

é que

f^{'} (k)

é a taxa de variação instantânea de

f

x = k

. Vejamos como essa interpretação pode ser usada para resolver problemas.

Digamos que um tanque de água esteja sendo enchido e o volume, em litros, de água no tanque depois de

t

segundos é dado pela função linear

V_{1} (t) = \frac{2}{3} t

O coeficiente angular da função,

\frac{2}{3}

, representa sua taxa de variação. Em outras palavras, o tanque está sendo enchido a uma taxa de

\frac{2}{3}

litros por segundo.

A taxa de variação de uma função linear é sempre constante, o que a torna relativamente fácil de analisar.

Agora, digamos que um tanque diferente esteja sendo enchido e que agora a função do volume

V_{2} (t) = 0, 1 t^{2}

não é linear.

Observe como o crescimento do gráfico é gradual no início e passa a ser mais íngreme no final. A taxa de variação de

V_{2}

não é constante.

Se quisermos analisar a taxa de variação de

V_{2}

, podemos falar sobre sua taxa de variação instantânea em determinado momento. A taxa instantânea variação de uma função é dada por sua derivada.

V_{2}^{'} (t) = 0, 2 t

Por exemplo,

V_{2}^{'} (5) = 1

. Matematicamente, isso significa que a inclinação da reta tangente ao gráfico de

V_{2}

quando

x = 5

1

. O que isso significa no contexto do nosso tanque de água?

A inclinação da reta tangente indica a inclinação da curva naquele ponto específico no tempo. Como já vimos como a inclinação nos dá a taxa de variação, podemos interpretar

V_{2}^{'} (5) = 1

da seguinte forma:

Em $t = 5$ ‍ segundos, o tanque está sendo enchido a uma taxa de $1$ ‍ litro por segundo.

Perceba algumas coisas sobre essa interpretação:

Primeiramente, a taxa é dada em litros por segundo. As unidades de uma derivada são sempre uma razão da quantidade dependente (por exemplo, litros) sobre a quantidade independente (por exemplo, segundos).

Em segundo lugar, a taxa é dada para um ponto específico no tempo (ou seja,

t = 5

segundos). Isso se dá porque ela é instantânea. Pegue outro ponto no tempo e a taxa pode ser diferente. Observe um intervalo de tempo e a taxa não será constante.

Problema 1.A

No conjunto de problemas 1, analisaremos o seguinte contexto:

Lindalva caminha de volta para casa da escola. Sua distância da escola, em metros, depois de $t$ ‍ minuto(s) é modelada pela função diferenciável $D$ ‍.

Quais unidades devemos usar para medir $D^{'} (t)$ ‍?

Problema 2

H

dá a altura de uma árvore, em centímetros,

t

semanas depois que ela foi plantada.

Quatro estudantes foram convidados a interpretar o significado de

H^{'} (5) = 3

nesse contexto.

Você consegue fazer a correspondência entre os comentários do professor e as interpretações?

1

Erro comum: esquecer de incluir unidades ou usar unidades incorretas

Lembre-se: quando analisamos problemas em contextos aplicados, devemos nos lembrar de sempre usar unidades.

Por exemplo, no Problema 2,

H

recebeu uma entrada que foi medida em semanas e nos deu uma saída que é medida em centímetros. Sua derivada

H^{'}

também nos dá uma entrada medida em semanas, mas sua saída é a taxa centímetros por semana.

Outro erro comum: usar frases que se referem "ao longo de um período de tempo" em vez de "em determinado momento"

Derivadas sempre tratam de taxas de variação instantâneas. Portanto, quando estamos interpretando a taxa de variação de uma função, dado o valor de sua derivada, estamos sempre nos referindo a um ponto específico em que essa taxa se aplica.

Como resolver problemas que envolvem taxas de variação instantâneas

Considere o problema a seguir:

Carlos tomou a dose inicial de um remédio. A quantidade de remédio, em miligramas, na corrente sanguínea de Carlos depois de $t$ ‍ horas é dada pela seguinte função:

$M (t) = 20 \cdot e^{^{- 0, 8 t}}$ ‍

Qual é a taxa de variação instantânea da quantidade de medicamento restante depois de $1$ ‍ hora?

A primeira coisa que devemos pensar ao ler esse problema é que temos que encontrar uma taxa de variação instantânea de uma grandeza. Isso significa que vamos trabalhar com derivadas.

A única função cuja derivada nós vamos usar é

M

, mas vamos nos assegurar que é isso que queremos:

M

nos dá a quantidade de medicação na corrente sanguínea de Carlos ao longo do tempo e temos que encontrar a taxa de variação instantânea dessa quantidade. Então sim, nós queremos

M^{'}

M^{'} (t) = - 16 \cdot e^{- 0, 8 t}

Temos que encontrar a taxa de variação instantânea depois de $1$ ‍ hora, o que significa que queremos calcular

M^{'}

t = 1

M^{'} (1) = - 16 \cdot e^{- 0, 8} \approx - 7, 2

Finalmente, precisamos nos lembrar de usar unidades. Como

M

nos dá uma quantidade em miligramas para uma determinada entrada em horas, a unidade com que medimos

M^{'}

é miligramas por hora.

Concluindo, a taxa instantânea de mudança do restante da medicação depois de

1

hora é de $- 7, 2$ ‍ miligramas por hora.

Problema 3

C

nos dá o custo, em reais, para uma empresa destruir

w

quilogramas de documentos confidenciais.

C (w) = 0,001 w^{3} - 0, 15 w^{2} + 7, 5 w

Qual é a taxa de variação instantânea do custo quando o peso dos documentos é de $10$ ‍ quilos?

Quer praticar mais? Tente este exercício.

Erro comum: resolver a função original em vez da derivada

Lembre-se: quando nos perguntam sobre a taxa de variação de uma função

f

, queremos procurar a derivada

f^{'}

. Calcular

f

em determinado ponto não nos dará nenhuma informação sobre a taxa de variação de

f

nesse ponto.

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dragonightbr
Publicado há há 2 anos. Link direto para a postagem “esta acumuando neve na fo...” de dragonightbr
esta acumuando neve na forma de uma bola esferica,se o formato da bola é mantido, determine a razão instatanea de variação
(a) do volume de neve em relação ao raio da bola, no instante que esse é 8 cm
(b) De variação da area da superficie da bola em relação ao seu diametro, no instante em que o raio e 3cm
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FABIO Oliveira
Publicado há há um ano. Link direto para a postagem “Tenho um restaurante e no...” de FABIO Oliveira
Tenho um restaurante e no ano vendo 1200 latas de um refrigerante, sabendo que o custo de armazenar uma lata é de 8r$, com custo de trasnporte de 75r$, e consederando o estoque medio para resolver essa questão.
Qual a melhor opção para fazer pedidos, um numero de pedidos maiores ou menores?
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