Interpretação do significado da derivada em contexto

RKA4JL - Olá, meu amigo ou minha amiga! Tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo da Khan Academy Brasil. Neste vídeo vamos buscar interpretar o significado da derivada em um contexto. Para conversar sobre isso, vamos observar duas pequenas questões sobre esse assunto. A primeira questão diz o seguinte: Eduardo dirigiu da cidade do Rio de Janeiro até Teresópolis. A função D fornece a distância total que Eduardo dirigiu, em quilômetros, "t" horas depois que ele saiu. Qual é a melhor interpretação para a seguinte declaração: D'(2) é igual a 100? Então pause esse vídeo e tente realizar essa interpretação. O que você acha que isso significa? Certifique-se de incluir as unidades apropriadas. Eu vou esperar você fazer isso. E então, fez? Vamos fazer juntos agora. Se D é igual à distância, à distância percorrida, então para obter D' você precisa derivar D em relação ao tempo. Uma maneira de pensar sobre isso, é que isso aqui é a taxa de variação de D, então podemos ver isso como D' instantâneo, ou seja, a taxa instantânea. E ambas são funções de t. Então como podemos ver D'(2) sendo igual a 100? O nosso t está em horas. Sendo assim, esse 2 que está dentro desse parênteses é o tempo em horas, ou seja, temos duas horas. Isso significa que depois que Eduardo saiu do Rio de Janeiro ele dirigiu por duas horas. Então vamos escrever isso aqui. Isso significa que duas horas depois que Eduardo saiu, no instante de tempo igual a duas horas, ele vai ter uma taxa de variação instantânea de 100. Mas 100 o quê? Qual é a unidade de medida desse 100? A distância é dada em quilômetros, certo? Sendo assim, a taxa de variação é dada em quilômetros por unidade de tempo, e nesse caso a unidade de tempo é a hora. Então temos 100 quilômetros por hora. É essa a interpretação aqui. Vamos fazer outra questão agora? Aqui somos informados que um tanque de água está sendo drenado. A função V dá o volume de líquido no tanque em litros após t minutos. Qual é a melhor interpretação para a seguinte declaração: "A inclinação da reta tangente ao gráfico de V em t=7 é igual -3”? Então pause esse vídeo e tente fazer isso. Faça igual ao que fizemos no exemplo anterior: escreva a interpretação e certifique-se de colocar as unidades corretas também. Vamos fazer juntos agora? Vamos ver o que está acontecendo? V vai nos dar o volume em função do tempo. O volume está em litros e o tempo está em minutos. A questão está falando sobre a inclinação da reta tangente ao gráfico. A inclinação da reta tangente para o gráfico de V, que é V' nesse caso. Então se você calcular a derivada em relação ao tempo, isso vai dar V', e o todas essas são funções de "t". O problema falou que em t igual a 7 temos que isso é -3. Então é isso, que é a mesma coisa que a inclinação da reta tangente. Sendo assim, temos que V' com t é igual a 7 minutos, ou seja, nossa variação de volume em relação ao tempo, é igual a -3. Você poderia dizer o seguinte: "Isso significa que depois de 7 minutos, o tanque está sendo drenado em um instante de tempo", ou seja, instantaneamente. É por isso que precisamos desse cálculo para determinar a taxa instantânea. Mas vamos lá, continuando. Ele está sendo drenado com uma taxa de variação instantânea D. Você pode ser tentado a dizer que está sendo drenado a uma taxa instantânea de 3 litros negativos por minuto, mas lembre-se de que o sinal negativo aqui na frente do 3 apenas mostra que o volume está diminuindo. Então, uma forma de pensar sobre isso é que esse negativo já está sendo contabilizado quando você está dizendo que está sendo drenado. Se isso fosse positivo, significaria que ele está sendo preenchido. Então está sendo drenado a uma taxa instantânea de 3 litros por minuto. E como eu sei que a unidade aqui é litros por minuto? A função de volume é em termos de litros e o tempo está em minutos. Então se eu estou pegando a derivada em relação ao tempo, eu vou ter litros por minuto. E pronto! Eu espero que você tenha compreendido tudo direitinho o que conversamos aqui, e mais uma vez eu quero deixar para você um grande abraço e até a próxima!