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Cálculo diferencial
Curso: Cálculo diferencial > Unidade 4
Lição 7: Regra de L'Hôpital- Introdução à regra de L'Hôpital
- Regra de L'Hôpital: exemplo de limite em 0
- Regra de L'Hôpital: 0/0
- Regra de L'Hôpital: exemplo de limite no infinito
- Regra de L'Hôpital: ∞/∞
- Regra de L'Hôpital: problema desafiador
- Regra de L'Hôpital: encontrar o valor da variável
- Demonstração do caso especial da regra de L'Hôpital
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Introdução à regra de L'Hôpital
Quando você está resolvendo um limite e obtém 0/0 ou ∞/∞, a Regra de L'Hôpital é a ferramenta que você precisa. Versão original criada por Sal Khan.
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Transcrição de vídeo
RKA8JV - Uma das coisas que mais fazemos ao iniciar o estudo de cálculo é usar limites para calcular
derivadas de funções. De fato, a derivada é definida por limite, é o limite da inclinação
do gráfico da função em um certo ponto, quanto
mais nos aproximamos dele. Você já viu isso muitas vezes. A ideia agora, neste vídeo,
é fazer o contrário, usar derivadas para
calcular certos limites. Especialmente, vamos utilizar essa ideia quando temos limites envolvendo situações de indeterminação
ou indefinição, como zero sobre zero, infinito sobre infinito, ou
menos infinito sobre menos infinito. O que nos vai ajudar a calcular limites envolvendo estas situações é a regra de L'Hôpital. Vamos ver, neste vídeo,
o que diz a regra de L'Hôpital e como aplicá-la nos cálculos de derivadas envolvendo indefinições
ou indeterminações. A utilização da regra de L'Hôpital é relativamente simples, mas a demonstração
é um pouco mais complicada. Podemos em outra situação,
em outro vídeo, trabalhar com ela. Vamos para a regra de L'Hôpital então. Se temos uma função f(x), de maneira que o limite com
"x" tendendo a "c'' do "f(x) = 0" e o limite de g(x) com
"x" tendendo a "c" também é igual a zero, e, veja, é outro "e". O limite com "x" tendendo a "c" do f'(x)/g'(x) existe e é igual a "L", então, o limite com
o "x" tendendo a "c" do f(x)/g(x) também é igual a "L". Isto pode parecer um pouquinho
bizarro para você, mas, mais à frente trataremos de exemplos e isso tudo vai ficar bem claro. Ali, tratamos do primeiro caso, em que nós teríamos f(x) igual a zero, e o g(x) também igual a zero, mas vamos a um segundo caso. Se temos um limite com
"x" tendendo a "c" do f(x) sendo igual a mais ou menos infinito (±∞), e o limite com "x"
tendendo também a "c" do g(x) = +∞ ou -∞ e o limite com "x" tendendo a ''c" do f'(x)/g'(x), existe e é igual a "L", então podemos fazer a mesma
afirmação que está acima novamente. Ou seja, então, o limite
com "x" tendendo a "c". do f(x)/g(x) é igual ao próprio "L". Desse jeito, quando você tem uma
situação como naquele primeiro caso, em que o limite do f(x)
é igual a zero com "x" tendendo a "c". E o limite com "x" tendendo a "c",
também do g(x), é igual a zero, e você precisa achar o limite
do f(x)/g(x) com "x" tendendo a "c", basta você verificar
se o limite do f'(x)/g'(x) com "x" tendendo a "c'' existe, e se existir, é o mesmo limite
para o f(x)/g(x) com "x" tendendo a "c". A mesma ideia você pode usar para quando tem ∞/∞, que é o que temos
neste segundo caso aqui. ∞/∞ ou -∞/-∞
ou o contrário. Então estas são as duas
formas indeterminadas para as quais a regra
de L'Hôpital se aplica. Vamos, então, para um exemplo. Digamos que precisamos calcular
o limite com "x" tendendo a zero de sen(x)/x. Se nós tentarmos aplicar
o limite com "x" tendendo a zero para sen(x) e para "x", vamos chegar a algo como zero sobre zero. sen(0) é zero e "x" sendo do zero, óbvio, zero. Chegamos, então, a uma
forma indeterminada, então, não podemos dar,
neste momento, uma resposta definitiva sobre esse limite. Comparando com o que
escrevemos logo acima, se sen(x) for f(x) e "x" for o g(x), f(x) é o sen(x), "g(x) = x". Perceba que estamos na situação
do primeiro exemplo, em que todas as condições
são satisfeitas para usar a regra de L'Hôpital. Limite quando "x" tende, neste caso, a zero, ou seja, o "c" é zero, então, o limite quando "x"
tende a zero do sen(x), é zero, e o limite quando "x"
tende a zero, de ''x", também é igual a zero. Agora, temos que verificar
se este outro limite, que é o limite com "x" tendendo a zero,
dá f'(x)/g'(x), existe e dá um certo valor. Vamos escrever aqui. Se f(x) é sen(x), então,
f'(x) é cos(x). Se "g(x) = x", então g'(x) é muito fácil, 1. Então agora temos que
verificar se o limite com ''x" tendendo a zero de f'(x)/g'(x) existe. Neste caso, estamos
falando, então, de limite com "x" tendendo a zero de cos(x)/1. Veja que este 1 é até desnecessário
de escrever, mas vamos lá. O limite quando "x" tendendo a zero
de cos(x) = 1, então, este limite todo é igual a 1/1, ou seja, simplesmente 1. Então, neste caso, o limite
com "x" tendendo a zero, note que o nosso "c" aqui é zero, do f'(x)/g'(x), é igual a 1, e ele existe, portanto. Com isso, nós cumprimos todas as condições para que a regra de L'Hôpital seja usada. Ou seja, o limite do f(x)
quando "x" tende a zero é zero, também o limite do g(x)
quando "x'' tende a zero é zero, e o limite quando "x"
tende a zero do f'(x)/g'(x) existe, e é igual, óbvio, a um certo valor que,
neste caso, foi 1. Sabendo, então, que tudo isto
está satisfeito, então, nós temos esta conclusão. O limite, quando "x" tende a "c"
do f(x)/g(x), é igual ao mesmo limite que nós
experimentamos com as derivadas. Ou seja, o limite quando "x" tende a zero
de sen(x)/x é igual a 1. Farei mais exemplos em próximos vídeos. Até lá!