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Regra de L'Hôpital: exemplo de limite no infinito

Transcrição de vídeo

olá nesse vídeo nós vamos utilizar a regra de lupi tal para conseguir calcular o limite de uma função nesse caso nós vamos calcular o limite com o x tendendo ao infinito da função 4x elevada ao quadrado menos 5 x 1 sobre um menos 3 x ao quadrado bem nesse caso aqui pra gente calcula o limite dessa função com x tendendo ao infinito a gente pode ter alguns problemas principalmente porque o infinito não é o número e por não ser um número a gente não pode substituir direto aqui o infinito e sai calculando como se fosse um outro limite qualquer mas se por acaso a gente substituísse é que o infinito que nós iríamos encontrar primeiro que a gente não pode substituir aqui pelo infinito mas seja substituído por um número muito muito muito grande a gente teria uma noção pelo menos uma leve noção de pra onde que essa função está atendendo quando x tende ao infinito por exemplo vamos supor que a gente coloca o número muito grande aqui obviamente que como esse xis está elevada ao quadrado à medida que eu colocar valores cada vez maiores aqui esse número que sempre vai ser bem maior que esse outro aqui então a gente vai ter um número muito muito muito grande - um número grande mas não tão grande quanto esse então isso significa que à medida que o x for aumentando esse número vai se tornando cada vez maior positivo então a gente teria uma função tendendo ao infinito positivo aqui no numerador ea gente poderia fazer o mesmo aqui no denominador por exemplo à medida que o x for ficando cada vez maior a gente sempre vai ter um - um número muito grande então para x muito grandes a gente vai ter um número negativo aqui em baixo e aí à medida que o xixi vai ficando cada vez maior a gente vai ter um número cada vez mais negativo aqui embaixo isso significa que a função é que o denominador vai está tendendo para o - infinito ea gente não pode ter infinito / infinito do infinito / - infinito e é que acaba gerando uma indeterminação isso é uma determinação eu não posso ter um número infinito de medido por um número infinito porque eu não faço idéia de quanto que vai ser esse resultado se algum determinado todas as vezes que a gente tem um número indeterminado é que nesse limite a gente pode utilizar uma regra chamada regra de lupi tal e aí com essa regra de lupi tal a gente consegue calcular o limite dessa função então vamos utilizar a regra de lupi tal para calcular esse limite então esse limite vai ser igual ao limite com x tendendo ao infinito de que a regra do hospital consiste em todas as vezes que a gente tiver uma determinação a gente consegue calcular o limite de erivan da função então a gente pode derivar que o numerador ederivaldo denominador levando a que o numerador a gente vai ter 8 x menos 5 e isso / - 6 x como você pode perceber aqui a gente ainda vai continuar tendo uma determinação então de qualquer forma nossa função aqui continua indo para o infinito aqui no numerador e indo para o - infinito aqui no denominador se a gente continua tendo uma determinação a gente pode utilizar a regra do hospital novamente levando o numerador e o denominador então a gente vai ter o limite com o x tendendo ao infinito a derivada de 8x menos 5 vai ser igual a oito ea derivada de menos 6 x é igual a menos seis bem não tenho mais nenhum x ac e se a gente for substituir o x que não existe por infinito a gente vai ter esse resultado então limite com x tendendo ao infinito de 8 sobre -6 vai ser igual a menos 8 / 6 - 8 / 6 significando um pouco isso daqui a gente vai poder dividir por dois aqui por dois aqui e vai ter algo igual a menos 4 / 3 então o limite da nossa função com x tendendo ao infinito vai ser algo igual a menos 4 / 3 então nós consigo vamos calcular esse limite utilizando a regra de lupi tal beleza mas você vai falar assim pra mim agora olha só professor eu poderia calcular esse limite aqui sem usar a regra do hospital de fato você pode fazer isso mas eu quis apenas mostrar pra você que existe uma outra forma quando a gente tiver uma determinação que essa regra do hospital mas vamos supor que você queira calcular esse limite aqui sem usar a regra do hospital que você poderia fazer a gente vai calcular que o limite com o x tendendo ao infinito de 4x elevada ao quadrado menos 5 x 1 sobre o 11 - 3 x elevado ao quadrado beleza se você quiser se calcula o limite aqui a gente poderia colocar o x ao quadrado em evidência por exemplo assim a gente teria o limite com x tendendo ao infinito de x ao quadrado colocando um x ao quadrado em evidência a gente vai ter quatro - 5 sobre x sobre x ao quadrado vezes um sobre x ao quadrado menos três beleza bem agora a gente pode perceber que temos aqui um x ao quadrado no numerador x ao quadrado no denominador nós podemos cancelar um com o outro cancelando eles dois vai sobrar apenas só que é igual né ao limite com x atendendo ao infinito de quatro - 5 sobre x sobre um sobre x ao quadrado menos três agora a gente pode calcular o limite porque se eu tenho limite de um número sobre x com x tendo o infinito a gente vai ter um número / um número muito grande sendo assim a gente vai ter algo que vai está tendendo a zero então isso daqui vai tender a 0 eo mesmo se aplica aqui nesse 1 sobre x ao quadrado gente vai ter um sobre um número muito grande quando x tende ao infinito e uns / um número muito grande é algo muito próximo a zero então se é que vai tender para zero sobrando apenas aqui pra gente o quadro / menos três que é igual a menos quatro sobre três que têm o mesmo resultado seja o mesmo valor daquilo que a gente cálculo anteriormente utilizando a regra de lucro tal então qualquer uma das duas formas é interessante e podem ser feitas para calcular esse limite no entanto existem casos que é muito mais fácil utilizar que a regra de um tal e para utilizar a regra de lupi tal gente precisa de uma determinação a gente deriva que o número do id vivo denominador até a gente encontrar algo que a gente possa calcular o limite e que aí nesse caso chegaremos ao mesmo resultado daquilo que a gente teria chegado sem usar a regra de lupi tal