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Cálculo diferencial
Curso: Cálculo diferencial > Unidade 4
Lição 7: Regra de L'Hôpital- Introdução à regra de L'Hôpital
- Regra de L'Hôpital: exemplo de limite em 0
- Regra de L'Hôpital: 0/0
- Regra de L'Hôpital: exemplo de limite no infinito
- Regra de L'Hôpital: ∞/∞
- Regra de L'Hôpital: problema desafiador
- Regra de L'Hôpital: encontrar o valor da variável
- Demonstração do caso especial da regra de L'Hôpital
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Regra de L'Hôpital: exemplo de limite no infinito
Neste vídeo, usamos a Regra de L'Hôpital para encontrar o limite de (4x²-5x)/(1-3x²) no infinito. Versão original criada por Sal Khan.
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Transcrição de vídeo
RKA1JV - Olá! Neste vídeo, nós vamos utilizar
a regra de L'Hôpital para conseguir calcular
o limite de uma função. Nesse caso, nós vamos calcular o limite com o "x" tendendo ao infinito da função 4x² - 5x sobre 1 - 3x². Bem, neste caso aqui, para a gente
calcular o limite dessa função com "x" tendendo ao infinito, a gente pode ter alguns problemas. Principalmente, porque o infinito
não é um número, por não ser um número, a gente não pode substituir
direto aqui o infinito e sair calculando como se fosse
um outro limite qualquer. Mas, se por acaso,
a gente substituísse o infinito. o que nós iríamos encontrar? Primeiro que a gente não pode
substituir aqui pelo infinito. Mas se a gente substituísse por um número
muito, muito, muito grande, a gente teria uma noção,
pelo menos uma leve noção, de para onde essa função está tendendo
quando "x" tendo ao infinito. Por exemplo, vamos supor
que a gente coloque um número muito grande aqui. Obviamente, como esse "x"
está elevado ao quadrado, à medida que eu colocar valores
cada vez maiores aqui, esse número aqui sempre vai ser
bem maior que esse outro aqui. A gente vai ter um número
muito, muito, muito grande menos um número grande,
mas não tão grande quanto esse. Isso significa que à medida que
o "x" for aumentando, esse número vai se tornando
cada vez maior, e positivo. A gente teria uma função tendendo ao infinito positivo
aqui no numerador. A gente poderia fazer
o mesmo aqui no denominador, por exemplo, à medida que o "x"
for ficando cada vez maior, a gente sempre vai ter o 1
menos um número muito grande. Para "x" muito grande, a gente vai ter um número
negativo aqui embaixo. À medida que o "x"
vai ficando cada vez maior, a gente vai ter um número cada vez
mais negativo aqui embaixo. Isso significa que a função
do denominador vai estar tendendo para o menos infinito. E a gente não pode ter
infinito dividido por infinito, ou infinito dividido por menos infinito. Isso acaba gerando uma indeterminação, isso é uma indeterminação. Eu não posso ter um número infinito
dividido por um número infinito porque eu não faço ideia de quanto
que vai ser esse resultado. Isso é algo indeterminado. Todas as vezes que a gente tem um
número indeterminado aqui nesse limite, a gente pode utilizar uma regra
chamada regra de L'Hôpital. Com essa regra de L'Hôpital, a gente consegue calcular
o limite dessa função. Vamos utilizar a regra de L'Hôpital
para para calcular esse limite. Esse limite vai ser igual ao limite com "x' tendendo ao infinito de quê? A regra do L'Hôpital consiste
em todas as vezes que a gente tiver uma indeterminação, a gente consegue calcular
o limite derivando a função. A gente pode derivar o numerador e derivar o denominador. Derivando o numerador,
a gente vai ter 8x menos 5, isso dividido por -6x. Como você pode perceber aqui, a gente ainda vai continuar
tendo uma indeterminação. De qualquer forma, a nossa função
aqui continua indo para o infinito aqui no numerador e indo para o menos infinito
aqui no denominador. Se a gente continua tendo
uma indeterminação, a gente pode utilizar a regra
de L'Hôpital novamente. Derivando o numerador e o denominador. Então a gente vai ter o limite com "x" tendendo ao infinito, a derivada de 8x - 5 vai ser igual a 8 e a derivada de -6x é igual a -6. Não tenho mais nenhum "x" aqui. Se a gente for substituir o "x"
que não existe por infinito, a gente vai ter esse resultado. Então, o limite com "x"
tendendo ao infinito de 8 sobre -6 vai ser igual a -8 dividido por 6. -8 dividido por 6,
simplificando um pouco isso aqui, a gente vai poder dividir
por 2 aqui e por 2 aqui e vai ter algo igual a -4 dividido por 3. O limite da nossa função
com "x" tendendo ao infinito vai ser algo igual a -4 dividido por 3. Conseguimos calcular esse limite
utilizando a regra de L'Hôpital. Mas você vai falar assim para mim agora: olhe só, professor, eu poderia calcular esse limite aqui
sem usar a regra de L'Hôpital. De fato, você pode fazer isso, mas eu quis apenas mostrar pra você
que existe uma outra forma, quando a gente tiver uma indeterminação, que é essa regra de L'Hôpital. Mas vamos supor que você queira
calcular esse limite aqui sem usar a regra de L'Hôpital. O que você poderia fazer? A gente vai calcular o limite
com o "x" tendendo ao infinito de 4x² menos 5x sobre 1 menos 3x². Se você quisesse calcular o limite aqui, a gente poderia colocar o x²
em evidência por exemplo. Assim, a gente teria o limite com
"x" tendendo ao infinito de x², colocando um x² em evidência, a gente vai 4 menos 5 sobre "x", sobre x² vezes 1 sobre x² menos 3. Agora a gente pode perceber
que temos aqui um x² no numerador e um x² no denominador. Nós podemos cancelar um com o outro. Cancelando eles dois, vai sobrar apenas, isso aqui é igual ao limite com "x" tendendo ao infinito
de 4 menos 5 sobre "x", sobre 1 sobre x² menos 3. Agora, a gente pode calcular o limite, porque se eu tenho limite
de um número sobre "x" com "x" tendendo ao infinito, a gente vai ter um número dividido
por um número muito grande. Sendo assim a gente vai ter algo que vai tender a zero. Isso aqui vai tender a zero, e o mesmo se aplica aqui
nesse 1 sobre x². A gente vai ter 1 sobre
um número muito grande quando "x" tende ao infinito. E 1 dividido por número muito grande
é algo muito próximo a zero. Isso daqui vai tender para zero. Sobrando apenas aqui para a gente
o 4 dividido por -3 que é igual a -4 sobre 3,
que tem o mesmo resultado, ou seja, é o mesmo valor daquilo
que a gente calculou anteriormente utilizando a regra de L'Hôpital. Qualquer uma das duas
formas é interessante e podem ser feitas para
calcular esse limite. No entanto, existem casos em que é muito mais fácil
utilizar a regra de L'Hôpital. Para utilizar a regra de L'Hôpital, a gente precisa de uma indeterminação. A gente deriva que o numerador, e deriva o denominador
até a gente encontrar algo que a gente possa calcular o limite. Que, nesse caso, chegaremos
ao mesmo resultado daquilo que a gente teria chegado
sem usar a regra de L'Hôpital.