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Transcrição de vídeo

queremos calcular o limite de x tendendo a um para a expressão x / x - 1 - 1 dividido pelo logaritmo natural de x vamos ver o que acontece quando nós tentamos com o que acontece se avaliarmos esta expressão para x igual a 1 teremos então um aqui / 1 - 1 teremos algo do tipo 1 / 0 - 1 / log natural de um então elevado a qual potência será igual a um qualquer número elevado a 0 é igual a um então elevado a 0 será igual a 1 então um blog natural de um será igual a zero então temos o estranho indefinido 1 / 0 - 1 / 0 e esta é uma forma indefinida bizarra mas não é o tipo de forma indeterminada que precisamos para a regra do hospital não teremos 0 / 0 e não teremos infinito / infinito bem talvez você diga ok esse não é um problema para a regra do hospital nós temos que calcular esse limite de alguma forma e gostaria de dizer para não desistir agora talvez possamos manipular coxa publicamente isto de alguma forma que nos dará a forma indeterminada para a regra do hospital então poderemos aplicar a regra e para fazer isso vamos ver o que acontece se somarmos essas duas expressões se adicionarmos estas expressões teremos o denominador comum será x menos 11 vezes um logaritmo natural de x apenas multipliquei os denominadores é o numerador será bem se eu multiplicar este tema inteiro pelo blog natural de x ceará x vezes o log natural de x e multiplicaremos esse termo inteiro por x - um então temos menos x - 1 e podemos agora fazer por partes e essas expressões são a mesma coisa isto é o mesmo que x / x - um pois os logs naturais se cancelam é isso daqui é a mesma coisa que é um dividido pelo blog natural de x pois os termos x - um se cancela espero que perceba que tudo o que fiz foi adicionar essas duas expressões assim vamos ver o que acontece se pegarmos o limite para x tendendo a 1 dessa expressão porque são as mesmas coisas conseguimos algo mais interessante o que temos aqui temos então um vezes log natural de um blog de um é zero logo temos zero aqui então aquilo é 0 - 1 - 0 então será um outro 0 - 0 então 0 no numerador e no denominador temos um menos um que a 0 veja o blog natural de 10 então 000 e aí está nós temos a forma indeterminada que precisamos para rega do hospital assumindo que calculamos a derivada disto ea dividimos pela derivada disto e esse limite existe então isso será igual ao limite de x tendendo a um e vamos calcular derivada disto em roxo vamos calcular derivada deste numerador aqui e para este termo apenas a regra do produto a derivada de x é um então uma vez um blog natural de she's a derivado desse primeiro termo vezes o segundo tempo e teremos que adicionará derivada do segundo termo mais 1 / x vezes esse primeiro tema então 1 / x vezes x isto é apenas um e então temos - a derivado de x - 1a derivado de x - um é apenas um então será apenas menos 1 logo tudo isto é dividido pela derivada desta coisa vamos calcular derivada deste primeiro tema a derivada deste primeiro termo de x - um é apenas um multiplicamos pelo segundo tempo você obterá o óleo natural de x então mais a derivada do segundo termo derivada do log natural de x é um / xv e xx - 1 acredito que podemos simplificar este 1 / xx que é um subtraindo um texto então isto cancela com isto então essa expressão inteira pode ser reescrita como o limite contendo x tendendo a um o numerador é apenas um blog natural de x e o denominador é o log natural de x + x - 1 / x e agora vamos tentar avaliar este limite se pegarmos x aproximando do blog natural de x isto nos dará bem o log natural de um é zero e aqui temos um blog natural de um que é zero e mais 1 - 1 / 11 será outro 0 1 -1 é zero e teremos 10 macelo temos 10 / zero novamente novamente aplicaremos a regra do hospital então vamos pegar a derivada disto e dividir pela derivada disto então se vamos calcular o limite será igual ao limite com x tendendo a unta derivado do numerador 1 / x log dn dx é um / x dividido pela derivada do denominador a derivada do blog natural de x é um / x mas a derivada de x - 1 / x você pode ver desta forma como 1 / x exists - um derivado de x é levado a 1 - 1 que nós temos é derivado desta primeira coisa vezes à segunda e à deriva a segunda vezes esta primeira coisa então a derivado do primeiro termo x elevado a menos um é menos x elevado a menos 2 vezes o segundo tempo existes -1 mais a derivada do segundo termo que é 11 vezes o primeiro temo mais 1 / x então isto será igual a se avaliar os x comum o numerador será um / 1 que é um e definitivamente não teremos mais uma determinação aqui e nem 0 / 0 e o denominador será se avaliarmos isto para 1 isto é um dividido por um que é um mais - um elevado a -2 e você pode dizer um elevado a -2 é apenas menos um que você pode multiplicar este 1 - 1 que é zero e esse tema inteiro será cancelado e teremos o outro um time dividido por um então mais um então isto será igual a meio ea está usando a regra do hospital e alguns passos resolvemos algo que não víamos como apenas adicionamos esses dois temos e obtemos 0 / 0 então calculamos a derivado do numerador e o denominador duas vezes em linha para eventualmente obter nossos limites