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Demonstração do caso especial da regra de L'Hôpital

Esta não é uma prova completa da regra de L'Hopital, mas dará uma intuição de porque ela funciona. Versão original criada por Sal Khan.

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Transcrição de vídeo

RKA4JL - E aí, pessoal! Tudo bem? Nesta aula nós vamos provar a regra de L'Hôpital, só que vamos provar para um caso especial e isso vai nos dar a intuição da razão do porquê a regra funciona. Esse caso especial é quando f(a) é igual a zero e a derivada em x igual a “a” existe. Além disso, g(a) é igual a zero e a derivada de g em “a” existe. Se essas restrições são atendidas, então o limite quando x tende a “a” de f(x) sobre g(x) é igual à derivada de f em “a” sobre a derivada de g em “a”, ou seja, esse é o caso no qual nós vamos ter f(a), que é igual a zero, sobre g(a), que é igual a zero, o que vai causar uma indeterminação. Quando isso acontece, nós pegamos a derivada da função f em “a” e dividimos pela derivada da função g em “a”. Esse é um caso particular, um caso especial, mas é algo bem próximo do geral. Para provar isso, nós vamos resolver isso utilizando a definição de derivada e vamos ver que o resultado disso vai ser esse lado esquerdo. Então deixe-me colocar isso aqui. A derivada de f(a) é igual a quê? Por definição, nós sabemos que isso é igual ao limite quando x tende a “a” de (f(x) menos f(a)) sobre (x menos a). Isso aqui nada mais é do que a inclinação da reta que passa por dois pontos, ou seja, a inclinação da reta secante. Só relembrando: se você tem uma função como essa, aqui nós temos o ponto (a,f(a)), enquanto esse é o ponto (x,f(x)). Essa expressão vai ser a inclinação da reta que passa por esses dois pontos, na qual tem a inclinação delta y sobre delta x. O que você faz é tomar o limite da inclinação toda vez que esse ponto vai se aproximando cada vez mais desse aqui. Essa é a definição de derivada e nós dividimos isso aqui pela derivada de g(a), então dividimos pelo limite quando x tende a “a” de (g(x) menos g(a)) sobre (x menos a). Note que aqui nós temos o limite quando x tende a “a” e aqui também. Isso vai ser igual ao limite quando x tende a “a” de ((f(x) menos f(a)) sobre (x menos a)) sobre ((g(x) menos g(a)) sobre (x menos a)). Você pode simplificar isso multiplicando por (x menos a) em cima e por (x menos a) embaixo e cancelar esse (x menos a) com esse (x menos a) e esse aqui com esse aqui. Isso vai ser igual ao limite quando x tende a “a” de (f(x) menos f(a)) sobre (g(x) menos g(a)). Note que f(a) é igual a zero e g(a) também é igual a zero. Portanto isso é zero e isso aqui também é zero. Assim, vamos ficar com o limite quando x tende a “a” de f(x) sobre g(x). Mas claro, essa é a prova de um caso especial, porque eu estou considerando essas coisas aqui, ou seja, isso aqui é igual a isso, que era o que queríamos demonstrar. Eu espero que essa aula tenha ajudado e até a próxima, pessoal!