Distância total percorrida com derivadas

RKA4JL - A posição de uma partícula se movimentando ao longo de uma linha numerada é dada por s(t) igual a ⅔ vezes t³ menos 6 vezes t² mais 10 vezes t, para t maior ou igual a zero, onde t é o tempo em segundos. A partícula se move para ambos os lados, direito e esquerdo, nos primeiros seis segundos. Qual é a distância total percorrida pela partícula para t maior ou igual a zero ou t menor ou igual a 6? Vamos recordar o que queremos dizer com distância total. Se eu fosse começar aqui, me movesse para a direita três unidades e então me movesse quatro unidades para esquerda (e por isso eu coloquei aqui -4), eu teria que minha distância total seria igual a 7, 3 para a direita e 4 para a esquerda. Mesmo assim a minha posição aqui será igual a 1 negativo. Você poderia dizer que a minha distância líquida, ou que meu deslocamento, é -1. Eu estou 1 à esquerda de onde iniciei. A distância total percorrida é 7. Eu encorajo você a pausar o vídeo e tentar responder à questão. Qual a distância total percorrida pela partícula nesses seis segundos? O jeito mais fácil abordar este problema é pensar: essa partícula está se movendo para a direita ou para a esquerda? Ela estará se movendo para a direita quando a velocidade for positiva e estará se movendo para a esquerda quando a velocidade for negativa, ou seja, isto resume o pensamento de quando a velocidade é positiva ou negativa. Para tanto, vamos traçar a função da velocidade, ou fazer um esboço disso. Esta é a função de posição. A função de velocidade será a derivada da função de posição em relação ao tempo. A derivada de ⅔ vezes t³ será 2t². Então nós temos aqui -12t mais 10. Vamos tentar traçar isso. Isso será uma parábola de abertura para cima. Claramente é uma quadrática. O coeficiente do termo de segundo grau, que é o termo t², é um número positivo. Por isso teremos uma parábola com abertura para cima. Será algo parecido com isso. Estamos assumindo que ela muda de direção: ela será positiva durante algum tempo e será negativa o resto do tempo. Então ela deveria cruzar o eixo t onde ela for negativa. A função será negativa neste intervalo e será positiva fora dele. Então o jeito mais fácil de fazer isso é tentar achar quais são os zeros, assim podemos desenhar essa parábola de abertura para cima. Para achar os zeros, vamos igualar isto aqui a zero. Nós temos 2t² menos 12t mais 10 igual a zero. Podemos, então, simplificar essa expressão por 2. Isso vai ser igual a t² menos 6t mais 5 igual a zero. Dessa forma fica bem mais fácil de fatorar. Pode ser fatorado abrindo parênteses, (t menos 1), fecha parênteses, abre parênteses, (t menos 5), fecha parênteses. Se igualarmos isso aqui a zero e isso aqui a zero nós teremos que t é igual a 1 ou t é igual a 5. Vamos traçar isso. Vamos desenhar os eixos. Nós temos aqui o eixo y e o eixo x, então t é igual a 1 ou t é igual a 5. Esse é o nosso eixo t e isso será uma parábola para cima. Então vai ser algo como isso. t vai ser igual a 3 entre esses dois pontos. Se t for igual a zero, nós temos que a parábola vai cruzar o eixo y no ponto 10, isso porque se a gente substitui t igual a zero aqui, teremos que a velocidade será igual a 10. Nesse sentido a velocidade é positiva entre zero e um, entre o tempo zero e o tempo um e é também positiva após o tempo t igual a cinco segundos. Vemos que nossa velocidade é negativa, ou que estamos nos movendo para a esquerda, entre um e cinco segundos. Podemos afirmar isso porque a velocidade está negativa nesse intervalo. Vamos pensar sobre qual é a nossa posição em ambos estes pontos. No instante zero, no instante um e no instante cinco. Também vamos nos preocupar com instante seis. Então pensamos em qual distância ela teria que ter percorrido para se deslocar entre esses tempos. Vamos pensar um pouco sobre isso. Vamos fazer uma pequena tabela aqui. Em rosa eu destaco para vocês quando a velocidade é negativa, em vermelho quando a velocidade é positiva. Nós temos uma tabela do tempo em função da posição. Então nós temos um tempo zero, tempo um, tempo cinco e tempo seis. Quando o tempo é igual a zero segundo, nós sabemos que a posição é igual a zero. Em um segundo nós substituímos aqui na fórmula, percebemos que a posição será ⅔ menos 6 mais 10. Então será 4 ⅔. No tempo igual a cinco segundos vai ser ⅔ vezes 125, isso porque 5³ é igual a 125, que é o mesmo que 250 sobre 3 (é 250 sobre 3, mas nós podemos simplificar isso para 83 sobre ⅓). E isto é o nosso primeiro termo, -6 vezes 25, porque 5² é 25, e então mais 50. -150 mais 50, que é -100. Então 83 ⅓ menos 100, e isso será -16 ⅔. Para um instante em seis segundos, nós temos que vai ser ⅔ vezes 6³ menos 6³ mais 60. Em ⅔ vezes 6³ menos 6³, a gente pode isolar 6³, que vai ser igual a 6³, abre parênteses, (⅔ menos 1), fecha parênteses, mais 60. Se a gente resolve isso aqui dentro, ⅔ menos 1 vai ser igual a -⅓. Então 6³ vezes -⅓ mais 60. Vamos escrever isso aqui de outra forma. 6² vezes 6 vezes -⅓ mais 60. Então a gente pode resolver isso aqui primeiro, essa parte aqui primeiro, que vai ser igual a -72 mais 60. Isso é igual a -12. Então no instante seis segundos a posição será -12. Agora o que nós temos que pensar é sobre qual a distância percorrida. Ela começa indo para a direita. Ela irá para a direita 4 ⅔ e então da posição 4 ⅔ ela vai para a posição -16 ⅔, o que significa que ela viajou novamente 4 ⅔. Ela viajou 4 ⅔ para a esquerda, então 16 ⅔ para esquerda. Para lembrar, estamos em 4 ⅔ para a direita agora. Temos que ir 4 ⅔ para esquerda, voltando à origem. Então, temos que ir 16 ⅔ a mais para esquerda, por isso nos movemos daqui para lá. Será o mesmo que 4 ⅔ mais 16 ⅔. Então para ir de 16 ⅔ negativos para -12, significa que você se moveu outros 4 ⅔ agora para a direita. Agora isso é 4 ⅔. Então você está se movendo 4 ⅔ para a direita. Agora só temos que somar todos esses valores. O que teremos? Então nós teremos ⅔ vezes 4. ⅔ vezes 4 é a mesma coisa que 8/3. Nós temos aqui 8/3. E vejamos 4 mais 4 mais 16 mais 4 é igual a 28. Então 28 8/3. Esse é um jeito estranho de escrever 2 vezes ⅔. Então 28 mais 2 é igual a 30 ⅔. Portanto, a distância total percorrida durante os seis segundos é 30 ⅔ de unidade de distância.