Conteúdo principal
Cálculo diferencial
Curso: Cálculo diferencial > Unidade 4
Lição 6: Aproximação com linearidade localLinearidade local e diferenciabilidade
Intuição sobre como a linearidade local se relaciona à derivação usando a calculadora gráfica Desmos.
Quer participar da conversa?
Nenhuma postagem por enquanto.
Transcrição de vídeo
RKA8JV - Olá meu amigo ou minha amiga.
Tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda
a mais um vídeo Khan Academy Brasil. Neste vídeo, vamos conversar sobre a relação entre linearidade local em um ponto e a diferenciabilidade nesse ponto. Mas o que é linearidade local? Bem, se a gente tiver uma função
e der um zoom suficientemente grande em um determinado local, em um ponto, mesmo que a função não seja linear, mas seja diferenciável nesse ponto, nós vamos observar algo
que vai aparentar ser linear. Deixa eu te mostrar alguns
exemplos aqui disso. Vamos dizer que temos
uma função em que y = x². Bem, claramente isto
não é uma função linear, mas, ampliando aqui uma
região em um ponto, se a gente ampliar aqui de forma suficientemente grande, veremos algo que se parece quase linear. Vamos dizer que a gente
queira ampliar o ponto (1, 1). Então, vamos fazer isso aqui. Então, ampliando o ponto (1, 1), teremos algo aproximadamente linear
neste ponto. Essa propriedade de
linearidade local é muito útil ao tentar aproximar uma
função em torno de um ponto. Por exemplo, nós poderíamos
pegar a derivada aqui no ponto 1, não se esqueça que a derivada é a inclinação da reta tangente
em um ponto da função. Aí, com essa inclinação podemos
encontrar a equação da reta tangente e usar essa equação para aproximar valores da nossa função em torno de "x = 1". Claro, você pode não precisar
fazer isso para y = x², mas pode ser muito útil para
uma função mais complexa. Enfim, meu amigo ou minha amiga, a grande lição aqui é que no ponto (1, 1), temos essa ideia de linearidade local. Agora, vamos ver outro exemplo, de um ponto em que uma função
não seja diferenciável nesse ponto, e que também não vamos
ver a linearidade local. Por exemplo vamos observar
o valor absoluto de "x", o módulo de "x". Eu acho que é melhor mudar
um pouco isto aqui. Vamos, então, observar
o valor absoluto de "x - 1", assim vai ficar um pouco melhor. Bem, esta função é diferenciável, contando que a gente não
esteja aqui nesta extremidade, neste ponto em (1, 0). Para qualquer outro valor de "x",
a função é diferenciável. Mas, em relação a "x = 1", a gente já conversou em outros vídeos o porquê dessa função não
ser diferenciável neste ponto. Bem, também podemos usar a ideia de linearidade local para observar este ponto. Ah, um detalhe. O que vamos fazer não é uma regra matemática rigorosa, mas apenas uma ideia para te dar um pouco de intuição sobre linearidade local. Bem, observe aqui que não importa
o quanto a gente amplie, a gente continua vendo
esta curva acentuada. Seria difícil construir uma única reta tangente que passa por este ponto (1, 0). Na verdade, eu posso construir um número infinito de retas que vai passar por (1, 0), mas que não passa pelo resto da curva. Então observe, onde quer que você veja, sempre teremos esta
aparência no ponto (1, 0) nesta função aqui de valor absoluto. Isso é uma indicação muito boa de que essa função não é diferenciável nesse ponto. Agora, vamos diminuir aqui
um pouco o zoom e vamos pegar outra função. Vamos observar uma função
onde a diferenciabilidade ou a falta de diferenciabilidade não é por causa de uma extremidade
como no caso da função anterior, mas sim porque conforme
aumentamos aqui o zoom, ela vai começar a se parecer
com uma reta vertical. Um bom exemplo disso
é a raiz quadrada de 4 - x². Bem, esta daqui é a metade superior
de um circulo de raio 2. Vamos nos concentrar aqui no ponto (2, 0), porque, bem, neste ponto
não somos diferenciáveis. Se a gente ampliar aqui o suficiente, percebemos que em (2, 0) teremos algo que se aproxima
de uma reta vertical. Bem, como já falei com você, essa função não é diferenciável
no ponto (2, 0). Agora, outra coisa que eu quero destacar é que a gente não precisou aumentar muito para perceber que temos esta extremidade nesta função de valor absoluto, ou que temos algo que se assemelha a uma reta vertical aqui em (2, 0) e em (-2, 0). Conforme vimos, algo estranho está acontecendo nesses pontos, logo, é possível que as funções não sejam diferenciáveis nesses pontos. Mas existem algumas funções
que normalmente não vemos em um curso de álgebra ou de pré-cálculo, ou até mesmo em cálculo. Essas funções têm algo que, aparentemente, de uma perspectiva reduzida, têm um vértice como no caso
da função de valor absoluto. Mas aí, ao aproximar mais e mais, veremos que temos uma linearidade local, e que, além disso, a função
é diferenciável nesse ponto. Um bom exemplo disso é: bem, vamos nos livrar dessas coisas aqui para deixar a nossa tela
um pouquinho mais limpa. Vamos dizer que "y" seja igual
a "x" elevado a, eu vou colocar um expoente grande aqui, eu vou colocar 10 no expoente. Então, temos x¹⁰. A gente começa a perceber a formação
de um vértice aqui bem acentuado. Na verdade temos dois pontos. Aí, ao colocar x¹⁰⁰ , parece que agora temos um
vértice bem mais acentuado. Aí, se a gente colocar x¹⁰⁰⁰, bem, isso pode ser uma boa medida. Aí nessa escala, parece que temos um vértice muito acentuado aqui no ponto (1, 0). Um detalhe interessante é que essa curva não vai diretamente ao ponto (1, 0). Se "x" for 1, à medida que a gente amplia mais e mais, a gente vai perceber algo curvo. Isso é ótimo, porque esta função é realmente diferenciável em todos os valores de "x". O que a gente está vendo aqui
é pouco exótico, mas conforme a gente aumenta o zoom,
nós realmente veremos isso. Vamos ampliar aqui mais e mais. Este vértice parece ser bem acentuado, mas se a gente der
um zoom o suficiente, mesmo nesta parte
que parece ser bem difícil, ou seja, bem acentuado aqui, a gente começa a perceber
que o verdadeiro vértice é curvo. Aí, a medida que a gente aumenta
mais e mais o zoom, aparentemente teremos algo
que se parece com uma reta. É difícil de acreditar nisso
quando a gente diminui o zoom, porque realmente este vértice se parecia com quina, algo bem acentuado. E aí, conforme a gente aumenta o zoom, vemos mais uma vez essa linearidade local, como uma reta não vertical. Enfim, em qualquer ponto desta curva, a gente vai ter uma função diferenciável. Bem, meu amigo ou minha amiga, a questão aqui é que às vezes você pode precisar aumentar muito o zoom, ou seja, ampliar bastante. E uma ferramenta como essa que eu estou usando agora é muito útil para fazer isso. E claro, não estamos usando uma
matemática muito rigorosa aqui, mas isso pode te dar uma leve a intuição de que se você aumentar o zoom o suficiente, você começa a ver uma curva
se parecendo mais e mais com uma reta. Isso é uma indicação de que
a função é diferenciável. Se você continuar aumentando o zoom e ainda se parecer com
um vértice bem duro aqui, sem apresentar uma curvatura, ou se você ampliar e tiver uma reta que aparentemente apresenta uma reta vertical, aí teremos alguns problemas. O legal é que, agora, você já pode começar a pensar e se questionar sobre esses problemas. Enfim, meu amigo ou minha amiga, eu espero que você tenha compreendido
tudo direitinho o que vimos aqui e, mais uma vez, eu quero deixar
para você um grande abraço, e até a próxima!