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Linearidade local

Neste vídeo, apresentamos a ideia de aproximar curvas usando as equações de suas retas tangentes. Esse método também é chamado de "linearização local.". Versão original criada por Sal Khan.

Transcrição de vídeo

nesse vídeo vamos estudar um caso de aproximação linear ou aproximação pela reta tangente também chamado dele né a agilização um supor que você queira tirar raiz quadrada de 4,36 você não sabe a esquadra de 4,36 mas você sabe a raiz quadrada de 4 sabe que a raiz quadrada de 4 a 2 e você sabe que a raiz quadrada de 4 36 está próximo de 2 pois 4,36 é um valor próximo de 4 como é que nós podemos fazer uma estimativa do valor que essa raiz possui se não tivermos uma calculadora obviamente vamos transformar o primeiro numa função fdx igual a raiz de x ou seja a aids x sendo uma função x elevado é um meio é essa função colocando aqui no gráfico podemos ter uma idéia de como é que está se comportando a função nós temos o está ordenada e temos o estudo da abi cissa por uma questão apenas didática vamos colocar o 4 ac e o ponto que queremos saber 4,36 aqui o 4 vai levar dos obviamente está fora de escala 4036 vai levar um valor que é o que nós queremos esse é o valor real mas como é que nós podemos calcular esse valor apenas utilizando derivada nós podemos no ponto 4 pegar redes à tangente ao ponto 4 pois temos como calcular a inclinação dessa reta gente pois aqui é o f linha de quatro ou seja derivada no ponto 4 vai da inclinação dessa reta e aí vamos a partir do ponto 4 36 pegar um ponto estimado aqui e esse ponto estimado vai nos dar um valor próximo do valor real esse valor vamos chamar de função linear no ponto 4,36 como é que nós escrevemos essa função não chama ldx vamos generalizar ldx ser igual a um valor conhecido ou seja o f d4 que dá dois então vamos chamá fd a um dia' é um valor conhecido mais mas essa distância daqui pra cá o chamado delta y quem essa distância daqui pra cá chama se aqui de delta x vai ser a inclinação da reta efe linha de quatro no caso aqui vezes o meu delta xo-2 que é o meu efe a o ponto conhecido mas a inclinação da linha no ponto conhecido a vejo delta x o que é o delta x é o valor que eu quero que o chamando de x - o valor que estou chamando de a cavalo conhecido ou seja x - ah então agora podemos calcular primeiro vamos tirar derivada a derivada da função fdx fica sendo é fininha x é igual a um meio de x elevada - um meio ou então quem vai ser o nosso efe linha de quatro na cef linha de quatro vai ficar um meio vezes quatro elevada - um meio menos o meio é um expoente negativo 4 vai ficar 1 sobre quatro é levada um meio que dá um sobrinho de quatro que é 21 sobre 21 sobre dois aqui vai ser um sobre quatro a nossa inclinação não substituindo os valores para o nosso valor que queremos que é o é de 4,36 nós vamos obter o f de 4 mas a inclinação é filhinha o ponto quatro vezes 4,36 menos quatro agora vamos calcular lembrando que a nossa função é uma estimativa e vai dar uma estimativa da raiz quadrada de 4,36 pois nós definimos essa função como sendo a função da aproximação linear ou de aproximação pela reta tangente então ficamos com 4,36 é igual à efe de quatro nós sabemos que há dois mas a inclinação nós sabemos que é um sobre quatro vezes 4 6 - quatro 0,36 essa copa vai nos dar 2,09 ou seja isso quer dizer que pela aproximação linear ou pela aproximação da reta tangente a raiz quadrada de 4,36 é aproximadamente 2,09 é importante notar que esse valor está superestimado ele é maior do que o valor real a reta tangente quarta por cima enquanto a concavidade dessa curva que tem laranja que é a real vem por baixo ou seja o valor real é um pouco inferior ao valor estimado então ele está superestimado senão vejamos na calculadora quanto é o valor a raiz quadrada de 4.36 2,088 1 ou seja o nosso valor que nós queremos real seria 2,088 um mais alguma coisa obviamente mas aqui a gente tá pegando só quatro casas decimais para duas casas decimais essa é uma aproximação muito boa então vimos que por aproximação linear ou aproximação pela reta tangente nós podemos criar uma função onde nós pegamos a função num ponto conhecido somamos com derivada deste ponto conhecido e multiplicamos pela distância do ponto que queremos ao ponto conhecido e assim temos uma estimativa do valor que queremos determinar