If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Se você está atrás de um filtro da Web, certifique-se que os domínios *.kastatic.org e *.kasandbox.org estão desbloqueados.

Conteúdo principal

Cálculo diferencial

Curso: Cálculo diferencial > Unidade 4

Lição 4: Introdução às taxas relacionadas
Matemática
Cálculo diferencial
Aplicações das derivadas
Introdução às taxas relacionadas
© 2023 Khan AcademyTermos de usoPolítica de privacidadeAviso de cookies

Análise de problemas envolvendo taxas relacionadas

Google Sala de Aula
Problemas de taxas relacionadas são problemas nos quais raciocinamos sobre a taxa de variação de uma grandeza usando as informações que temos sobre a taxa de variação de outra grandeza relacionada. Vamos nos familiarizar com esse tipo de problema.
Problemas de taxas relacionadas são problemas aplicados nos quais devemos calcular a taxa na qual uma grandeza muda em relação a outras grandezas cujas taxas são conhecidas.

Exemplo de resolução de um problema de taxas relacionadas

Imagine que temos o seguinte problema:
O raio r, left parenthesis, t, right parenthesis de um círculo está aumentado a uma taxa de 3 centímetros por segundo. Em determinado instante t, start subscript, 0, end subscript, o raio é de 8 centímetros.
Qual é a taxa de variação da área A, left parenthesis, t, right parenthesis do círculo neste instante?

Desenvolvimento do conceito de grandezas e suas taxas

No geral, estamos lidando aqui com um círculo cujo tamanho está mudando com o tempo. Exitem duas grandezas mencionadas nesse problema:
r, left parenthesis, t, right parenthesis é o raio do círculo depois de t segundos. Ele é medido em centímetros.
A, left parenthesis, t, right parenthesis é a área do círculo depois de t segundos. Ela é medida em centímetros quadrados.
Uma circunferência tem raio r de t e uma área A de t.
O problema também se refere às taxas dessas grandezas. A taxa de variação de cada grandeza é dada por sua derivada:
r, prime, left parenthesis, t, right parenthesis é a taxa instantânea na qual o raio muda com o tempo t. Isso é medido em centímetros por segundo.
A, prime, left parenthesis, t, right parenthesis é a taxa instantânea na qual a área muda no tempo t. Ela é medida em centímetros quadrados por segundo.

Entendendo as informações dadas

Temos que o raio está aumentando a uma taxa de 3 centímetros por segundo. Isso significa que start color #1fab54, r, prime, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, 3, end color #1fab54 para qualquer valor de t.
Também temos que em um determinado instante t, start subscript, 0, end subscript o raio é de 8 centímetros. Isso significa que start color #11accd, r, left parenthesis, t, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, equals, 8, end color #11accd. Observe que isso é válido apenas para t, start subscript, 0, end subscript e não para qualquer valor de t.
Finalmente, nos pediram para calcular a taxa de variação de A, left parenthesis, t, right parenthesis no instante t, start subscript, 0, end subscript. Matematicamente, estamos buscando start color #e07d10, A, prime, left parenthesis, t, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #e07d10.

Relacionamento entre a área e o raio

Depois que nós entendemos as grandezas relevantes, podemos procurar uma equação, ou fórmula, que as relacione. As grandezas no nosso caso são a área e o raio de um círculo. Essas grandezas são relacionadas usando a fórmula da área de um círculo:
A, equals, pi, r, squared

Derivação

Para calcular start color #e07d10, A, prime, left parenthesis, t, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #e07d10 nós temos que derivar os dois lados da equação. Uma vez feito isso, nós poderemos relacionar start color #e07d10, A, prime, left parenthesis, t, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #e07d10 com outros valores conhecidos, como start color #1fab54, r, prime, left parenthesis, t, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #1fab54, o que nos permite calcular start color #e07d10, A, prime, left parenthesis, t, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #e07d10.
Como nós não temos as fórmulas explícitas para A, left parenthesis, t, right parenthesis e r, left parenthesis, t, right parenthesis, usaremos diferenciação implícita:
A(t)=π[r(t)]2ddt[A(t)]=ddt[π[r(t)]2]A′(t)=2πr(t)r′(t)\begin{aligned} A(t)&=\pi [r(t)]^2 \\\\ \dfrac{d}{dt}[A(t)]&=\dfrac{d}{dt}\Bigl[\pi [r(t)]^2\Bigr] \\\\ \goldD{A'(t)}&=2\pi\blueD{r(t)}\greenD{r'(t)} \end{aligned}
Esse é o coração da nossa solução: ao relacionar grandezas (ou seja, A e r), nós somos capazes de relacionar suas taxas (ou seja, A, prime e r, prime) usando diferenciação. Essa é a razão pela qual chamamos esses problemas de "taxas relacionadas"!

Solução

Observe que a equação que nós obtemos é verdadeira para qualquer valor de t e especificamente para t, start subscript, 0, end subscript. Nós podemos substituir start color #11accd, r, left parenthesis, t, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, equals, 8, end color #11accd e start color #1fab54, r, prime, left parenthesis, t, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, equals, 3, end color #1fab54 nessa equação:
A′(t0)=2πr(t0)r′(t0)=2π(8)(3)=48π\begin{aligned} \goldD{A'(t_0)}&=2\pi\blueD{r(t_0)}\greenD{r'(t_0)} \\\\ &=2\pi(\blueD 8)(\greenD 3) \\\\ &=48\pi \end{aligned}
Concluindo, nós calculamos que em t, start subscript, 0, end subscript a área está aumentando a uma taxa de 48, pi centímetros quadrados por segundo.
Problema 1.A
  • Atual
O conjunto de problemas 1 irá levá-lo através das etapas para analisar o seguinte problema:
A base b, left parenthesis, t, right parenthesis de um triângulo está decrescendo a uma taxa de 13 start text, m, slash, h, end text e a altura h, left parenthesis, t, right parenthesis do triângulo está crescendo a uma taxa de 6 start text, m, slash, h, end text. Em um certo instante t, start subscript, 0, end subscript, a base é 5 start text, m, end text e a altura é 1 start text, m, end text. Qual é a taxa de variação da área A, left parenthesis, t, right parenthesis do triângulo nesse instante?
Faça a correspondência entre cada expressão e suas unidades.
start text, m, end text
start text, m, slash, h, end text
start text, m, end text, squared
start text, m, end text, squared, start text, slash, h, end text
b, prime, left parenthesis, t, right parenthesis
A, left parenthesis, t, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis
h, left parenthesis, t, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis
start fraction, d, A, divided by, d, t, end fraction

Quer praticar mais? Tente este exercício.

Erro comum: confundir quais expressões são variáveis e quais são constantes

Como vimos, problemas de taxas relacionadas envolvem múltiplas expressões. Algumas representam grandezas e algumas representam taxas. Algumas estão mudando e outras permanecem constantes.
É importante ter certeza de que você compreendeu o significado de todas as expressões e que está apto a atribuir seus valores apropriados (quando dados).
Nós recomendamos realizar uma análise similar às mostradas no exemplo e no conjunto de problemas 1: quais são as grandezas relevantes? Quais são as suas taxas? Quais são as suas unidades? Quais são os seus valores?
Problema 2
Considere este problema:
Dois carros estão se aproximando de um cruzamento vindos de direções perpendiculares. A velocidade do primeiro carro é de 50, start text, space, k, m, slash, h, end text e a velocidade do segundo carro é de 90, start text, space, k, m, slash, h, end text. Em um certo instante t, start subscript, 0, end subscript, o primeiro carro está a uma distância x, left parenthesis, t, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis de 0, comma, 5, start text, space, k, m, end text do cruzamento e o segundo carro está a uma distância y, left parenthesis, t, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis de 1, comma, 2, start text, space, k, m, end text do cruzamento. Qual é a taxa de variação da distância d, left parenthesis, t, right parenthesis entre os carros nesse instante?
Qual equação pode ser usada para resolver o problema?
Escolha 1 resposta:

Erro comum: escolher uma equação que não representa corretamente o problema dado

Como você viu, a equação que relaciona todas as distâncias desempenha um papel crucial na solução do problema. É geralmente útil desenhar algum tipo de diagrama que descreva a situação, com todas as grandezas relevantes. Vamos pegar o Problema 2 como exemplo. O problema descreve um triângulo retângulo.
Um triângulo retângulo é formado entre a interseção, primeiro carro e segundo carro. O ângulo reto está na interseção. O cateto até o primeiro carro é x de t. O cateto até o segundo carro é y de t. A hipotenusa, entre os carros, mede d de t.
O diagrama deixa claro que a equação que estamos procurando relaciona todos os três lados do triângulo, o que pode ser feito usando o teorema de Pitágoras:
open bracket, d, left parenthesis, t, right parenthesis, close bracket, squared, equals, open bracket, x, left parenthesis, t, right parenthesis, close bracket, squared, plus, open bracket, y, left parenthesis, t, right parenthesis, close bracket, squared
Sem o diagrama, podemos acidentalmente tratar d, left parenthesis, t, right parenthesis como a área do triângulo...
d, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, start fraction, x, left parenthesis, t, right parenthesis, dot, y, left parenthesis, t, right parenthesis, divided by, 2, end fraction
... ou tratar x, left parenthesis, t, right parenthesis, y, left parenthesis, t, right parenthesis, e d, left parenthesis, t, right parenthesis como se fossem os três ângulos do triângulo...
d, left parenthesis, t, right parenthesis, plus, x, left parenthesis, t, right parenthesis, plus, y, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, 180
... ou talvez tratar d, left parenthesis, t, right parenthesis como se fosse um ângulo e formar alguma equação trigonométrica.
t, g, open bracket, d, left parenthesis, t, right parenthesis, close bracket, equals, start fraction, y, left parenthesis, t, right parenthesis, divided by, x, left parenthesis, t, right parenthesis, end fraction.
Todas essas equações podem ser úteis em outros problemas de taxas relacionadas, mas não para esse do Problema 2.
Problema 3
Considere este problema:
Uma escada de 20 metros está apoiada contra uma parede. A distância x, left parenthesis, t, right parenthesis entre a base da escada e a parede está aumentando a uma taxa de 3 metros por minuto. Em um certo instante t, start subscript, 0, end subscript, o topo da escada está a uma distância y, left parenthesis, t, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis de 15 metros do solo. Qual é a taxa de variação do ângulo theta, left parenthesis, t, right parenthesis entre o solo e a escada nesse instante?
Qual equação pode ser usada para resolver o problema?
Escolha 1 resposta:

Quer praticar mais? Tente este exercício.

Quer participar da conversa?

Entrar
Nenhuma postagem por enquanto.
Você entende inglês? Clique aqui para ver mais debates na versão em inglês do site da Khan Academy.