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Cálculo diferencial
Curso: Cálculo diferencial > Unidade 4
Lição 4: Introdução às taxas relacionadas- Introdução às taxas relacionadas
- Análise de problemas envolvendo taxas relacionadas
- Análise de problemas de taxas relacionadas: expressões
- Análise de problemas de taxas relacionadas: expressões
- Análise de problemas de taxas relacionadas: equações (Pitágoras)
- Análise de problemas de taxas relacionadas: equações (trigonometria)
- Análise de problemas de taxas relacionadas: equações
- Introdução à derivação de funções relacionadas.
- Exemplo resolvido: derivando funções relacionadas.
- Derive funções relacionadas
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Análise de problemas de taxas relacionadas: expressões
Quando temos um problema de taxas relacionadas nas mãos, é melhor primeiro ter certeza de que entendemos todas as grandezas envolvidas.
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Transcrição de vídeo
RKA4JL - Olá, meu amigo ou minha amiga!
Tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda
a mais um vídeo da Khan Academy Brasil. Neste vídeo vamos resolver um problema
sobre taxa de variação. Esse problema diz o seguinte: a base b(t) de um triângulo está diminuindo
a uma taxa de 13 metros por hora e altura h(t) do triângulo está aumentando
a uma taxa de 6 m/h. Em um certo instante t₀, a base tem 5 metros
e a altura tem 1 metro. Qual é a taxa de variação da área a(t)? Como a gente pode perceber aqui,
a área é uma função de t, então qual é essa taxa de variação
da área do triângulo nesse instante? O que vamos fazer aqui nesse exercício,
em vez de ir direto e tentar resolver isso, é tentar identificar cada uma das unidades de medida
para essas expressões aqui e também tentar pensar sobre quais informações são fornecidas e quais não são. Isso realmente vai nos dar ferramentas
para resolver esse problema de taxa de variação. Então vamos fazer a primeira parte. Vamos combinar cada expressão com suas unidades. Como sempre, pause o vídeo
e veja se você consegue fazer isso sozinho ou sozinha. OK, vamos lá. Primeiro o que a gente tem aqui é b'(t). Essa é a taxa de variação da base em relação ao tempo. Se a gente pensar sobre isso,
b(t) é a base, então isso aqui vai ser em metros. Sendo assim, b'(t) vai ser assim. Nossa base está mudando em relação ao tempo. Isso aqui vai ser em metros por... A questão nos dá isso. Foi falado que está diminuindo
a uma taxa de 13 m/h, então a unidade aqui é metro por hora. b'(t) vai estar em m/h. Agora "a" em um tempo t₀. Lembre-se: "a" é a área do nosso triângulo
e estamos medindo tudo isso em metros. Você pode dizer a partir das informações
que a questão forneceu. Então a área está em unidades quadradas, e nesse caso será metros quadrados. Agora a altura no tempo t₀. Tanto a base quanto a altura são comprimentos
que estão sendo medidos em metros. Então nossa altura em t₀ está em metro. Agora aqui a gente tem a taxa de variação da área
em relação ao tempo. Já sabemos que a nossa área está em metros quadrados, mas queremos saber isso aqui, que é a taxa de variação
da nossa área em relação ao tempo. Então vai ser uma quantidade de área
por unidade de tempo, e o tempo aqui estamos usando em horas, como você pode ver a partir de algumas informações
que a questão forneceu. Então isso aqui vai ser a área por unidade de tempo,
ou metros quadrados por hora. Então vai ser isso bem aqui,
área por unidade de tempo, afinal o comprimento nós estamos medindo em metros
e o tempo em horas. Agora a questão pede para combinar cada expressão
com seu valor fornecido. Vamos começar por aqui. Qual é a base do triângulo no tempo t₀? A questão fornece isso? Vamos ver. A questão fala que em um determinado momento,
em um certo instante t₀, a base... (deixe-me sublinhar isso
com uma cor diferente) a base em um certo instante t₀ tem 5 metros. Como sabemos, a base é uma função do tempo, mas a questão falou que no instante de tempo t₀
a base é igual a 5 metros. Portanto são 5 metros bem aqui. Agora, qual o valor da taxa de variação
em relação ao tempo? Foi falado disso aqui? Olhe bem aqui. Essa é realmente a primeira peça
de informação que a questão forneceu: a base b(t) do triângulo está diminuindo
a uma taxa de 13 m/h. Então a taxa de mudança da base,
que é b'(t), que também é igual a db/dt, está diminuindo a uma taxa de 13 m/h. Então isso seria 13 m/h negativo. Sendo assim, a taxa de variação da base em relação ao tempo é 13 negativo. Agora a'(t), que é a taxa da variação da área no tempo t₀,
foi nos dado isso? Na verdade a questão perguntou isso: qual é a taxa de variação de a(t)
do triângulo nesse instante? Então é isso que realmente precisamos descobrir,
já que a questão não forneceu essa informação. Caso contrário, não teríamos problemas
para encontrar a resposta. Portanto isso aqui não é fornecido,
não é dado. Na verdade é isso que estamos tentando encontrar. Por último temos a primeira derivada
da altura em relação ao tempo. Sendo assim você pode ver isso como dh/dt. O que vai ser isso?
Isso foi fornecido? Foi dito que a altura do triângulo
está aumentando a uma taxa de 6 m/h, então se a questão está dizendo
que h(t) está aumentando, está sendo dita a taxa de variação de h(t)
em relação ao tempo. Além disso, a questão também fala que h'(t)
é igual a 6 m/h positivo. A questão realmente forneceu isso. Mas porque tudo isso é um exercício útil para se fazer? Agora estamos realmente prontos para resolver a questão, porque, em geral, se estamos falando
sobre qualquer triângulo, nós sabemos que a área é igual
à metade da base vezes altura. Agora, nessa situação, a área de nossa base
e a nossa altura são funções de t. Então podemos escrever a(t) sendo igual
a ½ vezes b(t) vezes h(t). E se a gente quiser encontrar
a taxa de variação da nossa área em algum instante, e o instante em que a questão está falando
é no tempo t₀, então o que devemos fazer é derivar ambos os lados
em relação ao t. A derivada do lado esquerdo é a'(t) e a derivada do lado direito é ½ vezes... Aqui precisamos usar a regra do produto. Então vamos ter que a derivada da primeira função
em relação ao tempo, que nesse caso é b'(t), vezes a segunda função mais a primeira função, que é b(t), vezes a derivada da segunda função
em relação ao tempo e precisamos descobrir não apenas a expressão geral, porque o problema pediu para determinar a taxa de variação
da área no instante de tempo t₀. Sendo assim temos que a'(t₀),
que é o que queremos descobrir, é igual a ½ vezes (b'(t₀) vezes h(t₀) mais b(t₀) vezes h'(t₀)). Agora isso pode parecer assustador,
porém a questão deu muitas informações. O que é b'(t₀)? É a taxa de variação de b em relação ao tempo, e isso é -13 m/h. Isso aqui foi fornecido. E h? Qual é a altura no tempo t₀? Isso nos foi fornecido também. Em um certo instante t₀ a base tem 5 metros
e altura tem um metro. Então a questão informou b e h em t₀. Isso foi fornecido e isso foi fornecido. Qual é a taxa de variação da altura no tempo t₀? Isso também foi fornecido. A altura do triângulo está aumentando
a uma taxa de 6 m/h, então isso foi fornecido também. Tudo isso é dado
e basta substituir estes valores para você descobrir a taxa de variação da área
no instante de tempo t₀. Bem meu amigo ou minha amiga, eu espero que você tenha compreendido
tudo isso aqui que conversamos e mais uma vez eu quero deixar para você
um grande abraço e até a próxima!