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Análise de problemas de taxas relacionadas: equações (trigonometria)

Transcrição de vídeo

o Olá meu amigo minha amiga tudo bem com você seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo daqui na casa de me Brasil e nesse vídeo vamos resolver um exemplo sobre taxa de variação relacionada esse problema diz o seguinte uma escada de 20 m está encostada na parede à distância x de ter entre a parte inferior da escada e a parede está aumentando a uma taxa de 3 metros por minuto em um certo instante t0 o topo da escada está uma distância a y de t0 = 15 metros do solo qual é a taxa de variação do ângulo teto de ter entre o solo EA escada nesse instante Inicialmente vamos fazer um desenho do que está acontecendo Além disso o nosso primeiro passo é pensar sobre qual equação será útil para resolver esse problema fazendo isso podemos ir em frente e realmente resolver o problema portanto nós temos aqui é uma escada de 20 m Oi tá encostado em uma parede vamos desenhar a parede aqui essa é a minha parede agora vamos desenhar a nossa escada de 20 metros então talvez seja algo assim e isso é 20 metros a questão falou sobre a distância x de dentro o pé da escada EA parede essa distância bem aqui esses de ter a questão também falou que você está aumentando a uma taxa de 3 metros por minuto então podemos dizer que x linha de ter que é a mesma coisa que deixes de ter = 3 metros por minuto eu poderia colocar essas unidades de forma abreviada mas eu vou deixar assim bem essa informação é questão nos Deus sendo assim temos a taxa de variação de X em relação ao tempo em um certo instante de tempo t0 o topo da escada está uma distância de 15 metros isso também foi informado Então essa distância aqui é y de ter como vimos essa distância não o tempo t0 = 15 metros Y de T = 15 metros vamos escrever aqui também Y de t0 = 15 metros vamos supor que estamos desenhando nesse momento t0 porque eu acho que isso vai ser importante o problema está querendo saber a taxa de variação do ângulo tenta entre o chão EA escada e isso está dizendo que tenta vai variar em relação ao tempo sendo assim teremos uma função do tempo entre o solo EA escada nesse instante então teto é esse ângulo aqui que também vai ser uma função do tempo bem o que sempre queremos fazer nesses problemas de taxas relacionadas é montar uma equação que relaciona as coisas que procuramos para esse caso teremos uma equação algébrica com um pouco de trigonometria envolvida aí depois de fazer isso provavelmente teremos que de levar Em ambos os lados da equação tô afim de relacionar as taxas de variação vamos ver o que vamos fazer aqui nós queremos saber a taxa de variação do ângulo entre o chão EA escada no instante de tempo informado Então o que precisamos descobrir o que queremos descobrir reta linha de t0 é isso que queremos descobrir uma coisa legal é que a questão nos deu algumas informações interessantes temos a taxa de variação de X em relação ao tempo e isso é uma constante igual a três metros por minuto também sabemos o valor de y no instante de tempo informado vamos ver o que precisamos fazer aqui precisamos criar um relacionamento porque foi dado um DX DT por isso é interessante encontrar um relacionamento entre x e tetra E aí tirar a derivada de ambos os lados a fazer isso podemos usar essa informação para descobrir um valor para x ou para teto no instante de tempo informado nós vamos fazer isso como podemos relacionar x completa bem usando um pouco de trigonometria aqui se você pegar a hipotenusa e multiplicar com o cosseno de teto você vai encontrar x vamos escrever isso aqui XD ter é igual a hipotenusa que nesse caso é 20 metros porque isso é o comprimento da escada vezes o cosseno de teta e apenas para deixar bem claro eu vou colocar aqui que esse é o cosseno de teto de ter porque temos aqui uma função do tempo bem isso vem direto da trigonometria básica agora porque eu acho que isso é útil bem Vamos pensar sobre o que acontece quando eu tiro a derivada de ambos os lados do lado esquerdo eu vou ter apenas x linha de ter isso vai ser igual a derivada de isso tudo aqui do lado direito e como eu derivo isso bem usando a regra da cadeia assim primeiro eu vou pegar a derivada da função de Fora em relação atleta então eu vou a derivada do Cosseno em relação atleta isso é igual a quanto bem isso é menos sendo de tenta então eu coloco aqui menos 20 vezes o seno de teto de ter agora multiplico isso pela derivada em relação ao tempo da função que está dentro ou seja a derivada de teto em relação ao tempo que nesse caso até talinha agora eu posso dizer o seguinte olha aqui em t0 eu sei o valor de X linha de ter eu posso então tentar descobrir a derivada de teto de ter que estar aqui e é isso que eu vou fazer então inteiro igual a t0 temos que x linha de ter = 3 metros por minuto ou seja nossa taxa está em metros por minuto quando falamos de distância estamos falando de metros mas quando falamos de ângulo Nossa medida vai estar em radianos Mas enfim aqui nós vamos ter três que é igual a menos 20 vezes oceano de teto Às vezes a derivado de teto em relação ao tempo Como descobrimos o valor do seno de teto de ter bem vamos apenas usar as outras informações aqui que o problema nos deu eu vou fazer isso aqui embaixo temos que sendo de teto de t0 = bem o sendo ou é igual ao cateto oposto dividido pela hipotenusa é então isso aqui é igual a y dt0 dividido pela hipotenusa que é 20y de t0 = 15 metros Então temos que isso é igual a 15 / 20 que sempre ficando = 3 / 4 ou 3 quartos então esses seno de teto de T = 3 quartos então multiplicamos isso aqui por três quartos e isso vezes a taxa de variação de teto em relação ats agora só temos que resolver para isso e pronto Quanto que é 20 negativo vezes 3 quartos e isso é igual a 15 negativo então colocamos aqui menos 15 se a gente agora dividir ambos os lados por 15 negativos nós temos que tenta linha de ter vai ser igual a 3 sobre 15 negativo menos 3 sobre 15 bem sempre ficando isso a gente vai ter algo igual a menos 15 aqui a unidade é radianos por minuto porque nossas taxas são todas por minuto Então vamos escrever isso aqui radiando os por minuto enfim conseguimos descobrir isso é interessante porque a questão informa Y usamos essa informação de Y para descobrir o seno de teto de ter E aí com a equação que desenvolvemos utilizamos XD t0 para encontrar tetra linha de ter Enfim meu amigo minha amiga eu espero que você tenha compreendido tudo direitinho que conversamos aqui e mais uma vez eu quero deixar para você um grande abraço e até a próxima