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Taxas relacionadas: escada caindo

Você está em uma escada. A parte inferior da escada começa a deslizar para mais longe da parede. No meio do seu susto, você percebe que isso daria um ótimo problema de taxas relacionadas. Versão original criada por Sal Khan.

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Transcrição de vídeo

RKA2G - Aqui nós temos um problema interessante. Uma escada de 10 metros, bem comprida, está a uma distância da parede de 8 metros e ela tem uma velocidade vertical. O problema quer saber que velocidade é essa. Ou seja, se a gente chamar isto de altura, a questão é quem é dh/dt. É esta a nossa questão. Vamos partir do que a gente sabe. Nós sabemos que a velocidade no eixo "x", vamos chamar este de eixo "x", no plano horizontal, esses 4 m/s são o dx/dt, ou seja, dx/dt é 4 m/s. O que nós sabemos também? Se chamarmos isto de "x" e isto de "h", nós sabemos que x² + h² = 10², que é igual a 100. Ou seja, neste instante, nós temos x = 8 (então é 8²), mais h², igual a 100. Nós vamos ter 100 - 64 = 36. Temos que "h" é igual a 6 metros e colocamos 6 metros como positivo, uma vez que essa altura nós estamos orientando para cima, como positivo. Então, sabemos que x² + h² = 100. Se derivarmos isto em relação ao tempo, vamos ter: d(x² + h²)/dt é igual a d(100)/dt. Ora, este valor da escada não vai mudar, é uma constante. Portanto, isto é igual a zero. Agora aqui, pela regra da cadeia, nós vamos ter 2x vezes dx/dt mais 2h vezes dh/dt. Lembre-se que isto é a regra da cadeia. Ou seja, nós fizemos o d(x²)/dx vezes dx/dt. E aqui nós fizemos o d(h²)/dh vezes dh/dt. Então, vamos ter... Primeiro, nós sabemos o valor de "x". Sabemos o valor de "h". Nós sabemos quem é dx/dt. Então, nesta equação, fica faltando apenas o valor de dh/dt, que é o que queremos saber. Portanto, vamos colocar aqui. Fica 2 vezes "x", que vale 8, vezes dx/dt, que vale 4, mais 2 vezes "h", que vale 6, vezes dh/dt, igual a zero. Podemos simplificar estes 2 aqui e aqui o 8, vamos dividir todo mundo por 2. Aqui fica 4 e aqui fica 3. Então, nós vamos ter: 4 vezes 4 = 16, 16 + 3dh/dt = 0. Significa que dh/dt é igual a -16/3 m/s. E com isso nós achamos a velocidade. Podemos colocar em valores inteiros. dh/dt é igual a menos 5 inteiros e 1/3 m/s. Uma coisa interessante nesta questão é que o aluno pode pensar o seguinte: "Quando esta altura tender a zero, quando este 6 tender a zero, quando eu passar este cara para cá dividindo, esta velocidade vertical vai tender a infinito." Bem, não é verdade, pois a velocidade horizontal também está variando e, quanto mais a escada se aproxima do solo, menor vai ser essa velocidade. É importante notar que esta velocidade é em um determinado instante. É exatamente no momento em que a escada está a 8 metros da parede e a 6 metros na vertical. Ou seja, nós calculamos o dh/dt em -5,333 m/s, no instante específico de 8 metros de distância horizontal para 6 metros de distância vertical.