Taxas relacionadas: balão

RKA20C Neste problema, nós temos um balão que está subindo com uma certa velocidade. Ele está a uma determinada altura do chão e, no chão, existe um observador a 500 metros da altura vertical que toca o chão. Ele observa o balão... Vamos colocar aqui em outra cor. Ele observa o balão e, por meio do instrumento, mede este ângulo. Inicialmente, este ângulo θ é igual a π/4. Mas, por meio do instrumento com o qual ele está medindo, ele consegue ver qual é a variação desse ângulo. E a variação desse ângulo está sendo de dθ/dt, de 0,2 radianos por minuto. Quando estamos estudando cálculo, normalmente, os ângulos são dados em radianos, porque aí podemos integrar. Se nós colocarmos em graus, temos que transformar para radianos para poder integrar. Então, temos a variação angular aqui, pelo tempo, temos o ângulo inicial e temos a distância horizontal da vertical do balão. O que nós queremos saber é a taxa de variação da altura do balão, ou seja, o dh/dt. Essa é a nossa incógnita. Então, quais são as relações que podemos obter? Nós temos a altura, temos a distância horizontal, temos o ângulo e sabemos que a tangente de θ é igual a cateto oposto sobre cateto adjacente. O que nós podemos fazer é derivar de ambos os lados, ou seja, d/dt de ambos os lados, a taxa de variação em relação ao tempo de ambos os lados. Deste lado de cá, este 500 já pode sair de dentro da nossa derivada, ou seja, fica 1/500 vezes dh/dt, que é o que nós queremos. Agora, deste lado de cá, nós vamos utilizar a regra da cadeia, ou seja, vamos derivar a tangente em relação a θ e θ em relação ao tempo. Então, ficamos com a derivada da tangente em relação a θ vezes a derivada de θ em relação ao tempo, que é o que já temos também, é igual a 1/500 vezes a derivada da altura em relação ao tempo, que é o que queremos saber. A derivada da tangente é a secante ao quadrado. Então, temos sec² de θ... Agora, que θ é esse? Este θ aqui não é o θ que está se movimentando. Este θ é nosso θ inicial, é o nosso θ que é π/4. ...vezes dθ/dt, que é 0,2 radianos por minuto. Vamos não colocar as unidades. Depois, nós vamos saber que a altura é dada em metros e a velocidade vai ser em metros por minuto. Isso vai ser igual a 1/500 vezes dh/dt, que é o que queremos saber. Então, temos que dh/dt, que é o que queremos saber, vai ser igual a 500 vezes sec² de π/4 vezes 0,2. Bem, mas quanto vale sec² de π/4? Nós sabemos que a secante é o inverso do cosseno. O cosseno de π/4 é igual a √2 sobre 2. Então, o cos² de π/4 é igual a 2/4, que é igual a ½. Então, 1 sobre cos² de π/4 vai ser igual a 2. E sabemos que a secante é o inverso do cosseno, portanto, sec² de π/4 vai ser igual a 2. Então, voltando aqui para o nosso dh/dt, nós temos que fazer a seguinte conta: 500, que vai ser essa distância horizontal, vezes sec² de π/4, que veio da nossa derivada da tangente, que vai ser igual a 2, vezes 0,2, que é a nossa variação angular dθ/dt. 0,2 vezes 2 = 0,4. 0,4 vezes 500 vai dar... dh/dt = 200 m/min. E terminamos!