Taxas relacionadas: sombras

RKA8JV - Vamos dizer que estamos observando uma noite e que nós temos uma coruja procurando a sua presa. Então, aqui nós temos uma coruja, e que ao observar um rato aqui embaixo, ela vai descer diretamente para pegar esse rato, e que os dois estão próximos a um poste. Então, para entender bem o que está acontecendo, vamos dizer que este poste aqui tenha 8 metros de altura. Então, a gente tem um poste com 8 m, e que essa coruja se encontra a uma distância de 6 m desse rato, e que o rato se encontra a uma distância igual a 4 m da base deste poste. Esta coruja está voando diretamente para baixo, ou seja, ela não está indo para a direita nem esquerda, ela está indo diretamente para baixo com uma velocidade igual a 8 m/s. Então, vamos colocar isso aqui. A coruja está indo para baixo com uma velocidade igual a 8 m/s. Observando tudo o que está acontecendo, eu estou interessado em conhecer alguns detalhes a respeito da sombra formada por esta coruja. E uma coisa interessante sobre essa sombra, é que à medida que a coruja desce para pegar o rato, essa sombra vai se movimentando aqui para a esquerda. Então, a minha pergunta para você, neste vídeo, é justamente essa. Qual é a taxa de variação da sombra gerada pela coruja no decorrer do tempo? Observando tudo o que nós temos aqui, a gente pode definir algumas variáveis. Para definir tudo isso, eu vou fazer um desenho mais limpo aqui desse lado. Então, aqui nós temos o poste, e esse poste tem uma altura igual a 8 m, aqui nós temos a coruja, ou seja, todo o caminho que a coruja vai fazer até o chão, e isso daqui tem uma distância, uma altura igual a 6 m. Não podemos esquecer que a distância da base do poste até o rato é igual a 4 m. Como estamos interessado em conhecer detalhes a respeito desta sombra, a gente precisa saber exatamente onde esta sombra vai estar. Pela Física, sabemos que a luz se propaga em linha reta, certo? Então, a luz que vai ser emitida por esta a lâmpada aqui no poste, vai vir em linha reta e vai ser bloqueada pela coruja. Consequentemente, a sombra criada por esta coruja vai ser uma projeção desta reta por onde a luz deveria passar. Então, nós vamos ter uma reta que vai sair desta lâmpada aqui e vai passar pela coruja até atingir o chão. Então, vamos ter algo mais ou menos parecido com isto aqui. Vai vir a luz, vai passar pela coruja e vai vir até atingir o chão. E nós precisamos calcular o quão rápido esta sombra está vindo para a esquerda. Uma forma de fazer isso, é definir algumas variáveis para a gente conseguir relacioná-las e encontrar essa taxa de variação da posição da sombra gerada pela coruja no decorrer do tempo. Então, para fazer isso, eu vou chamar esta altura aqui da coruja que inicialmente é 6, de "y", ou seja, uma variável "y", e a posição da sombra em relação ao rato, de "x". O que nós vamos fazer é relacionar essas variáveis para encontrar o que nós queremos, que é a variação da posição "x", ou seja, da posição da sombra em relação ao rato no decorrer do tempo. Então, esta é a nossa pergunta aqui. Bem, nós já conhecemos o "y", certo? E também podemos determinar, de uma certa forma, o dy/dt. Afinal, a gente já conhece a velocidade com a qual a coruja está indo para baixo, certo? Então, a partir dessa variação de "y" no decorrer do tempo, nós vamos tentar relacionar esse "y" com o "x" para encontrar a taxa de variação do "x" no decorrer do tempo. Então nós precisamos relacionar essas variáveis. Mas, uma notícia boa é que nós temos 2 triângulos aqui. "Mas como assim 2 triângulos? Só estou vendo 1." Sim, nós temos 2. Se a gente considerar aqui um triângulo menor e aqui um triângulo maior. Então, para diferenciar bem, eu vou colocar este triângulo menor aqui de verde e este outro triângulo, o maior, de azul. Uma coisa interessante a respeito desses triângulos é que eles são semelhantes. Como é que sabemos que eles são semelhantes? Bem, são 2 triângulos reto, certo? Então, aqui a gente tem um ângulo de 90°. Aqui também, os 2 triângulos têm esses mesmos os ângulos. Quando nós temos 2 triângulos com 2 ângulos iguais, o terceiro ângulo de cada triângulo também vai ser igual ao outro. E aí, quando nós temos todos os ângulos iguais, a gente vai ter triângulos semelhantes. E uma coisa a respeito dos triângulos semelhantes que é muito interessante, é que a razão entre as bases desses triângulos e as alturas desses triângulos são iguais. Então, a gente pode partir dessa ideia para criar relação entre essas variáveis. Vamos lá, vamos fazer isso aqui. Para o triângulo menor, a gente tem que a base é "x", então, a gente vai colocar a razão entre a base "x" e a altura desse triângulo que é "y". Para o triângulo maior, a nossa base vai ser ''4 + x". Então, a gente tem ''4 + x'' sobre a altura, que é igual a 8. Então, a gente tem que as razões entre a base e a altura de cada um dos triângulos são iguais. Para facilitar um pouco isso, a gente pode multiplicar cruzado, multiplicando este lado aqui por 8y e esse outro lado também por 8y. A gente tem aqui x/y e aqui a gente tem 4x/8. Isso é muito interessante, porque a gente consegue eliminar este "y" com esse "y" e este 8 com esse 8. Assim, deste lado esquerdo, a gente vai ter aqui 8x, e do lado direito, a gente vai aplicar a propriedade distributiva e vamos ter 4y + xy. Como nosso objetivo é calcular a taxa de variação temporal, nós podemos derivar tudo isso em relação ao tempo. Então, vamos lá, vamos derivar esta parte aqui. 8x em relação ao tempo. Pela propriedade da derivada, quando a gente tem uma constante multiplicando uma variável, a gente pode jogar essa constante para fora da derivada e derivar apenas a variável. Então, a gente vai ter 8 vezes a derivada de "x" em relação ao tempo. E aqui a gente vai ter a mesma coisa. Mas deixe-me usar uma outra cor aqui. A gente vai ter 4 vezes a derivada de "y" em relação ao tempo, mais, bem, aqui já vai dar um pouco mais de trabalho, porque a gente tem duas variáveis, então, a gente vai precisar aplicar a regra do produto. Essa regra diz o seguinte: que a gente vai precisar derivar a primeira variável vezes a segunda variável mais a primeira variável vezes a derivada da segunda variável. Então vamos fazer isso aqui. A gente vai ter dx/dt, que é derivada de "x" em relação ao tempo, vezes "y" mais "x", que é a segunda variável, vezes a derivada de "y" em relação ao tempo. Então, já derivamos esta expressão aqui em relação ao tempo. E aí podemos ver o que nós já temos aqui como informação. Bem, o 8 é uma constante, beleza. Nosso objetivo é encontrar dx/dt, que é a taxa de variação de "x" em relação ao tempo. dy/dt nós já temos aqui, que é 8 m/s. Então, isso aqui a gente já tem. dx/dt nós não temos, mas depois a gente pode trazer para cá e isolar isto para encontrar o que a gente quer. O "y", que corresponde a este valor inicial 6, nós também já temos. O "x", infelizmente a gente não tem. O dy/dt, como eu já falei, a gente tem. Então, o que a gente precisa fazer aqui agora é encontrar esse "x". Para encontrar esse "x", a gente consegue voltar nesta expressão aqui e substituir os valores que foram informados para encontrar o valor de "x". Então, vamos fazer isso aqui do lado, vamos lá. A gente já tem alguns dados iniciais aqui, que é ''y", e a gente quer o valor de "x", certo? Então vamos lá, vamos pegar esta parte aqui. 8x = 4y, e "y = 6", mais "x" vezes "y", que é igual a 6. Assim, a gente vai ter 8x, que é igual a 4 vezes 6, 4 vezes 6 é 24, mais "x" vezes 6, que é 6x. Bem, trabalhando este 8x e esse 6x aqui, a gente tem algo igual a 2x. Então, 2x vai ser igual a 24, ou seja, x = 24/2, que é igual a 12. Então "x" corresponde a 12 m. Então esta sombra aqui da coruja está, inicialmente, a uma distância igual a 12 m deste rato. Agora que a gente já encontrou o valor de "x" inicial, ou seja o valor de "x" neste momento, a gente consegue determinar a velocidade com a qual esta sombra está indo para a esquerda, ou seja, a taxa de variação temporal de "x". Então, vamos lá, para fazer isso basta a gente substituir os dados que a gente já tem aqui no problema. Então, substituindo essas informações, inicialmente a gente vai ter 8 vezes dx/dt, que afinal de contas é o que nós estamos querendo determinar, isso sendo igual a 4 vezes dy/dt, certo? O dy/dt corresponde à taxa de variação do "y" em relação ao tempo, que é a velocidade com a qual a coruja está indo para baixo. No entanto, aqui eu mostrei para você o módulo dessa velocidade. Como a coruja está indo para baixo, ela está contra o sistema de orientação, que neste caso é o "y". Então, a taxa de variação dy no decorrer do tempo, vai ser igual a -8 m/s, ou seja, tem um valor negativo. Se a coruja estivesse subindo, seria um valor positivo, mas como a coruja está descendo, se aproximando do rato, nós temos um valor negativo, então 4 vezes (-8), mais, novamente, dx/dt, que a gente não conhece, vezes "y". O "y" a gente conhece. O "y" aqui neste caso é este valor inicial que tem 6 m. Então "y" é igual a 6, mais "x", que a gente acabou de calcular aqui, que é igual a 12 m. O "x" corresponde a esse valor inicial, ou seja, posição em que a sombra está inicialmente. Então ós vamos ter "x" sendo igual a 12, vezes dy/dt, que a gente já sabe que é igual a -8. Ok, o nosso trabalho agora é apenas algébrico, a gente calcular a esses valores aqui e isolar este dx/dt. 4 vezes (-8) vai ser igual a -32, e 12 vezes (-8) = -96. -32 - 96 = -128. Para resolver este dx, a gente precisa e isolá-lo, então, a gente vai subtrair com 6 deste lado e deste lado da igualdade. Assim, a gente vai ter (8 - 6)dx/dt, e aqui a gente vai anular essa parte. (8 - 6)dx/dt = 2dx/dt. E, desse lado, a gente vai ter apenas -128. Se a gente quer saber o dx/dt, basta dividir por 2 agora, dividir os dois lados da igualdade por 2. -128/2 = -64 m/s. E isso corresponde à taxa de variação da posição da sombra da coruja no decorrer do tempo. E o interessante é que tem um sinal negativo aqui. Esse sinal negativo significa que a sombra está se aproximando do rato, ou seja, está indo para a esquerda, e não se afastando. Como você pode perceber, esse valor é muito alto também, certo? Tem que ser mais rápido do que a velocidade da coruja, porque à medida que a coruja se aproxima do rato, este triângulo vai ficando cada vez menor, menor e menor, muito mais rápido do que a velocidade da coruja. Então, todas as vezes que você tiver um problema semelhante a este, você precisa criar uma relação entre as variáveis e fazer derivada em relação ao tempo. Assim você vai conseguir determinar a taxa de variação de uma das 2 ou 3 variáveis no decorrer do tempo. Neste caso aqui, foi da posição "x" no decorrer do tempo. Enfim, eu espero que você tenha gostado deste vídeo, e até a próxima!