Se você está vendo esta mensagem, significa que estamos tendo problemas para carregar recursos externos em nosso website.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

Conteúdo principal

A derivada de x² em x=3 usando a definição formal

Neste vídeo, encontramos a expressão do limite para a derivada de f(x)=x² no ponto x=3 e a calculamos. Versão original criada por Sal Khan.

Quer participar da conversa?

Você entende inglês? Clique aqui para ver mais debates na versão em inglês do site da Khan Academy.

Transcrição de vídeo

RKA4JL - Vimos em vídeos anteriores que a derivada de uma função f(x), ou seja, f'(x) é o limite quando h tende a zero de f(x₀ mais um incremento h) menos f(x₀) sobre esse incremento h. O que vamos mostrar neste vídeo é que nós podemos abordar essa inclinação, essa tangente, que é a inclinação da nossa derivada, como uma aproximação pela reta secante. Então vamos pegar um eixo x e y e uma curva qualquer. Uma curva qualquer passando aqui pelo ponto (0,0), depois ela vai aumentando, aumentando, e vamos supor que essa curva seja y igual a x². Então se essa curva é y igual a x², no ponto 3 ela vai valer 9. No ponto 3 mais um certo Δx, ela vai valer (3 mais Δx)². O que nos dá a inclinação da reta secante? A nossa reta secante vai partir deste ponto para esse ponto. Essa é a nossa reta secante. E a inclinação vai ser o cateto oposto, ou seja, o nosso Δy sobre o cateto adjacente, que vai ser nosso Δx. Essa vai ser a inclinação da nossa reta secante. Então nós temos Δy sobre Δx. Quem vai ser Δy e quem vai ser Δx? Podemos abrir esse parênteses. Temos o quadrado do primeiro mais duas vezes o primeiro pelo segundo mais o quadrado do segundo. Isto aqui é este ponto aqui, (3 mais Δx)², mas queremos essa distância daqui para cá, portanto vai ser a distância total, que é esse ponto que nós achamos, menos 9. Portanto, -9. E daqui para cá nós temos 3 mais Δx menos 3 obviamente, pois se nós temos 3 mais Δx menos 3, nós vamos ter o próprio Δx. Então podemos, agora, simplificar esse 9 com esse 9 aqui, este 3 com esse 3 aqui e ficamos com Δy sobre Δx como sendo ( 6 Δx mais (Δx)²) sobre Δx. Podemos simplificar mais. Podemos simplificar mais cortando tudo por Δx, então ficamos com 6 mais Δx. O que acontece com essa reta secante quando Δx for se aproximando de zero? Essa inclinação da reta secante vai ficando cada vez mais próxima da reta tangente nesse ponto, e a reta tangente nesse ponto 3 vai ser exatamente a derivada da minha função no ponto 3, que vai ser a inclinação, ou a reta tangente, nesse ponto 3. Então ficamos com o limite de Δy sobre Δx quando Δx tende a zero, ou seja, essa reta secante vai tender a quê? Nossa reta secante nós vimos que é o limite de 6 mais Δx quando Δx tende a zero e isso vai ser igual a 6, ou seja, no ponto 3 a inclinação vai ser 6. A reta secante deixa de ser secante e passa a ser a reta tangente, que é a nossa derivada. Nós podemos chegar a essa conclusão pela derivada de f(x). f(x) é x², então quem é f'(x)? f'(x) vai ser 2x. E quem vai ser f' no ponto 3? Vai ser igual a 2 vezes 3, que é igual a 6. Portanto aqui nós temos a inclinação da reta tangente, que é a derivada no ponto 3, e aqui nós temos a inclinação da reta secante quando Δx tende a zero, que é quando eles possuem o mesmo valor.