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Cálculo diferencial
Curso: Cálculo diferencial > Unidade 2
Lição 3: Definição de derivada- Definição formal da derivada como um limite
- Definição formal e alternativa da derivada
- Exemplo resolvido: derivada como um limite
- Exemplo resolvido: derivada a partir da expressão do limite
- Derivada como um limite
- A derivada de x² em x=3 usando a definição formal
- A derivada de x² em qualquer ponto usando a definição formal
- Como encontrar as equações da reta tangente usando a definição formal de limite
- Expressão do limite da derivada de uma função (gráfica)
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Exemplo resolvido: derivada a partir da expressão do limite
Neste vídeo, interpretamos uma expressão do limite para determinar que ele descreve a derivada de f(x)=x³ no ponto x=5. Versão original criada por Sal Khan.
Quer participar da conversa?
- O resultado daquele limite, portanto da derivada, dá 75? Eu fiz as contas corretamente e o que ele representa exatamente?(2 votos)
- Eu também fiz e deu o mesmo valor para o limite, significa que conforme x tende ao a, a inclinação vai ficando igual a 75.(3 votos)
- o F'(5) em F(x³) é 75.
onde,
F'(5)=lim 4,999³-125/4,999-5 = -0,075/-0,001 = 75
x->5
Obrigado pela oportunidade!
Thanks for opportunity!(2 votos) - (x^3-5^3) = (x-5).(x^2+5x+5^2)/x-5
= x^2+5.5+5^2 = x^2+25+25 = 75
F'(5)75(2 votos)
Transcrição de vídeo
RKA8JV - A forma alternativa da derivada
da função "f" do número "a" indicada por f'(a) é dada por isto aqui. f'(a) vai ser igual ao limite do "x" tendendo "a" de f(x) - f(a)
sobre x - a, desde que o limite exista, claro né. Ok, uma coisa interessante que
a gente pode observar e lembrar é que, normalmente, a derivada representa a inclinação da reta tangente
em um certo ponto, certo? Só que o que a gente tem
aqui neste limite, é o quê? Para observar isso vamos
traçar os nossos eixos. Aqui o nosso eixo "y" e aqui o nosso eixo "x". Não está muito bem desenhado não,
mas é só para ter uma ideia. Vamos supor que aqui a gente tenha
uma função qualquer, pode ser qualquer função, não importa, em que essa função vai ser a função "f", f(x) neste caso. Vamos supor, agora, que a gente
tenha aqui um ponto "a" qualquer. Aqui está o nosso ponto "a", que obviamente, este ponto vai ser o ponto (a, f(a)). E aí, ao longo desta função, a gente pode ter um outro
ponto "x" aqui qualquer, ok? Este ponto vai ser
o nosso ponto (x, f(x)). O que nós temos aqui é o quê? O que nós temos aqui em cima no numerador é a variação da função entre f(x) e f(a). Então, isso aqui é a variação
da nossa função aqui, nesses pontos aqui. E aqui no denominador, a gente tem a nossa variação em "x". A nossa variação aqui é entre "a" e "x". Quando a gente pega variação da função
e divide pela variação em "x", o que nós vamos determinar aqui é a reta secante que liga
esses dois pontos. Aí, o que a gente faz quando
pega esse limite com "x" tendendo a "a"? A gente vai pegando pontos cada vez
mais próximos aqui do "a", fazendo com que esta reta secante fique cada vez mais próxima
da reta tangente a este ponto aqui, tangente a este ponto (a, f(a)). Então, o limite desta nossa reta secante, que é determinada por esta expressão aqui, quando "x" tende a "a"
vai ser o quê? A inclinação da reta tangente a esse ponto "a". Então essa é uma forma que
a gente consegue utilizar para calcular a derivada no ponto "a". Ok, já sabendo disso,
a gente pode continuar aqui. Com a forma alternativa
da derivada para ajudar, resolva a seguinte expressão de limite identificando a função "f" e o número "a". Bem, a gente tem aqui que este é f'(5) é igual ao limite com o "x" tendendo a 5 de (x³ - 125)
sobre (x - 5), e que isso é a derivada da função f(x). Mas qual seria essa função f(x)? Bem, o que nós podemos
observar aqui é o seguinte: olha, aqui em cima
a gente tem o f(x), certo? Se a gente tem a função f(x), obviamente, este x³ aqui vai ser o quê? A nossa função f(x). Então a gente pode dizer claramente que a nossa função f(x) = x³, e isso menos 125. 125 vai ser o quê? 125 vai ser a função em "a". E quem é "a"? Bem, a gente sabe que o "x" aqui
está tendendo a "a", não é? O "x" não tende a "a"?
E aqui a gente não tem "x - a"? Aqui a gente tendendo a 5, e aqui a gente tem "x - 5". Então, se aqui nós temos "a",
aqui nós temos "a" e aqui nós temos "a", significa que o nosso "a" é igual a 5. Então, a gente pode dizer que o nosso "a = 5". Sendo assim, a nossa função no ponto "a"
vai ser igual a quê? 125. Só que a nossa função não é x³? Então, a gente vai ter que
a função vai ser 5³. E por incrível que pareça,
5³ é quanto? 125. Então, está mais do que certo
que a nossa função f(x) = x³, então, a gente pode até
colocar aqui que o f(x) = x³ e o nosso "a = 5". Então encontramos tanto
a nossa função quanto 5. Mas para ficar mais
claro isso aqui, vamos observar novamente os nossos eixos? Aqui a gente tem o eixo "y" e aqui temos o nosso eixo "x". Novamente, não está muito
bem desenhado não mas é só para a gente ter uma ideia. Como a nossa função x³, vai ser algo mais ou menos
desse jeito aqui. Vamos supor que aqui, eu tenha o nosso 125, aqui a nossa função
é igual a 125, esse vai ser o nosso ponto "x = 5". Então, aqui nós temos
o nosso ponto (5, 125). Vamos supor que a gente
pegue um outro "x" qualquer. Pode ser aqui mesmo, não importa, em que aqui a gente tenha um "x" qualquer. Obviamente, que aqui
a gente vai ter um ponto que é igual a (x, f(x)), que é x³. O que a gente pode
fazer aqui é encontrar a inclinação da reta secante
que liga estes dois pontos. Aí quando a gente calcula
o limite com "x" tendendo a 5, a gente vai pegar pontos em que o "x" está cada vez
mais próximo do 5, até chegar bem próximo a esse ponto aqui em que a gente vai ter
uma reta tangente a esse ponto, e a inclinação dessa reta tangente
que é o resultado dessa derivada. E claro, a gente nem precisa
calcular isso aqui agora, mas se você quiser pode até
calcular essa derivada e ver qual é a inclinação dessa
reta tangente a este ponto. Mas enfim, o objetivo deste vídeo
era só te mostrar que utilizando a forma
alternativa da derivada, a gente consegue encontrar a função
e também esse ponto "a".