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Expressão do limite da derivada de uma função (gráfica)

Neste vídeo, interpretamos expressões do limite como as derivadas de uma função dada graficamente e as calculamos. Versão original criada por Sal Khan.

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Transcrição de vídeo

RKA3JV - Com o gráfico das funções "f" como ajuda, avalie os seguintes limites. O primeiro é o limite quando "x" tende a 3 de f(x) - f(3) sobre (x - 3). Então, vamos pensar sobre "x". "x = 3" está bem aqui. Isto, bem aqui, é o f(3). Então, aqui é o f(3). Então, este aqui é o ponto (3, f(3)). E eles estão, essencialmente, tentando achar a inclinação entre um "x" arbitrário e aquele ponto em que "x" tende a 3. Então, podemos imaginar um "x" que esteja acima de 3. Como, por exemplo, bem aqui. Bom, e se estamos tentando achar a inclinação entre o (x, f(x)) e (3, f(3)), veremos que isto ganha exatamente a mesma forma, o seu ponto final é f(x). Então, f(x) - f(3) é a sua variação no eixo vertical, que é essa distância bem aqui. E nós iríamos dividir pela sua variação no eixo horizontal, que é a sua variação em "x". Então, isso será x - 3. Então, esta é a mesma expressão que nós temos aqui em cima, quando eu escolhi isso como "x" arbitrário. Nós vemos que aquela inclinação, apenas olhando para a linha entre aqueles dois intervalos, parece ser 2. A inclinação é a mesma coisa se nós formos pelo outro lado. Se fosse "x" menor que 3, então, também teríamos uma inclinação de -2. Pelos dois caminhos temos uma inclinação de -2. Isso é importante, porque este limite é apenas o limite quando "x" tende a 3. Então, pode ser quando "x" tende a 3 pela direita ou pela esquerda. Mas, em ambos os casos, a inclinação enquanto nos aproximarmos deste ponto, bem aqui, é -2. Agora, vamos pensar sobre o que eles estão nos perguntando aqui. Se nós temos 8 e f(8). Vamos pensar nós temos (8, f(8)) e ali tem f(8) + h. Então, a nossa tentação é dizer: ei, 8 + h vai estar em algum lugar ali fora. Vai ser alguma coisa maior do que 8. Mas, perceba, eles têm um limite enquanto "h" tende a zero pela esquerda. Então, se aproximar de zero pela esquerda, significa que você está vindo para zero por baixo. Você está em -1, -0,5, -0,1 e assim por diante. Então, "h" na verdade será um número negativo. Então, 8 + h será, na verdade, podemos apenas escolher um ponto arbitrário aqui. Poderia ser algo como isto, bem aqui. Então, este poderia ser o valor de 8 + h. E este seria o valor de f(8) + h. Então, mais uma vez, eles estão encontrando. Ou, esta expressão é a inclinação entre estes dois pontos bem aqui. E nós estamos tomando o limite enquanto "h" tende a zero pela esquerda. Então, conforme "h" se aproxima de zero, isso aqui embaixo vai mais e mais para a direita. E estes pontos se aproximam cada vez mais. Então, isso é, na verdade, apenas uma expressão da inclinação da linha e nós vemos que é constante. Então, qual é a inclinação da linha sobre este intervalo? Bem, você pode apenas passar o olho e ver. Veja, toda vez que o "x" varia uma unidade, o nosso f(x) varia uma unidade. Então, a inclinação da linha é 1. Teria sido uma coisa completamente diferente se dissesse limite enquanto o "h" tende a zero pela direita. Então, estaríamos olhando para pontos bem aqui. E nós veríamos que nos aproximaríamos lentamente, essencialmente de uma inclinação vertical, um tipo de inclinação infinita.