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Cálculo diferencial
Curso: Cálculo diferencial > Unidade 2
Lição 3: Definição de derivada- Definição formal da derivada como um limite
- Definição formal e alternativa da derivada
- Exemplo resolvido: derivada como um limite
- Exemplo resolvido: derivada a partir da expressão do limite
- Derivada como um limite
- A derivada de x² em x=3 usando a definição formal
- A derivada de x² em qualquer ponto usando a definição formal
- Como encontrar as equações da reta tangente usando a definição formal de limite
- Expressão do limite da derivada de uma função (gráfica)
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Expressão do limite da derivada de uma função (gráfica)
Neste vídeo, interpretamos expressões do limite como as derivadas de uma função dada graficamente e as calculamos. Versão original criada por Sal Khan.
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- precisando de explicação de como resolver : y= sen x + (x²+1) cos x.(1 voto)
Transcrição de vídeo
RKA3JV - Com o gráfico das funções
"f" como ajuda, avalie os seguintes limites. O primeiro é o limite quando "x" tende a 3 de f(x) - f(3)
sobre (x - 3). Então, vamos pensar sobre "x". "x = 3" está bem aqui. Isto, bem aqui, é o f(3). Então, aqui é o f(3). Então, este aqui é o ponto (3, f(3)). E eles estão, essencialmente,
tentando achar a inclinação entre um "x" arbitrário e aquele
ponto em que "x" tende a 3. Então, podemos imaginar um "x" que esteja acima de 3. Como, por exemplo, bem aqui. Bom, e se estamos tentando achar
a inclinação entre o (x, f(x)) e (3, f(3)), veremos que isto ganha
exatamente a mesma forma, o seu ponto final é f(x). Então, f(x) - f(3) é a sua variação no
eixo vertical, que é essa distância bem aqui. E nós iríamos dividir pela sua
variação no eixo horizontal, que é a sua variação em "x". Então, isso será x - 3. Então, esta é a mesma expressão
que nós temos aqui em cima, quando eu escolhi isso
como "x" arbitrário. Nós vemos que aquela inclinação, apenas olhando para a linha
entre aqueles dois intervalos, parece ser 2. A inclinação é a mesma coisa se nós
formos pelo outro lado. Se fosse "x" menor que 3, então, também teríamos
uma inclinação de -2. Pelos dois caminhos temos
uma inclinação de -2. Isso é importante,
porque este limite é apenas o limite quando
"x" tende a 3. Então, pode ser quando
"x" tende a 3 pela direita ou pela esquerda. Mas, em ambos os casos, a inclinação enquanto nos
aproximarmos deste ponto, bem aqui, é -2. Agora, vamos pensar sobre o que eles estão
nos perguntando aqui. Se nós temos 8 e f(8). Vamos pensar nós temos (8, f(8)) e ali tem f(8) + h. Então, a nossa tentação é dizer: ei, 8 + h vai estar em
algum lugar ali fora. Vai ser alguma coisa maior do que 8. Mas, perceba, eles têm um limite enquanto "h" tende a zero pela esquerda. Então, se aproximar de zero pela esquerda, significa que você está
vindo para zero por baixo. Você está em -1, -0,5, -0,1
e assim por diante. Então, "h" na verdade será
um número negativo. Então, 8 + h será, na verdade, podemos apenas escolher
um ponto arbitrário aqui. Poderia ser algo como
isto, bem aqui. Então, este poderia ser
o valor de 8 + h. E este seria o valor de f(8) + h. Então, mais uma vez,
eles estão encontrando. Ou, esta expressão é a inclinação entre estes dois
pontos bem aqui. E nós estamos tomando o limite enquanto "h" tende a zero pela esquerda. Então, conforme "h" se aproxima de zero, isso aqui embaixo vai
mais e mais para a direita. E estes pontos se aproximam cada vez mais. Então, isso é, na verdade, apenas uma expressão
da inclinação da linha e nós vemos que é constante. Então, qual é a inclinação da linha
sobre este intervalo? Bem, você pode apenas passar o olho e ver. Veja, toda vez que o "x"
varia uma unidade, o nosso f(x) varia uma unidade. Então, a inclinação da linha é 1. Teria sido uma coisa
completamente diferente se dissesse limite enquanto o
"h" tende a zero pela direita. Então, estaríamos olhando
para pontos bem aqui. E nós veríamos que nos
aproximaríamos lentamente, essencialmente de uma inclinação vertical, um tipo de inclinação infinita.