Derivada como coeficiente angular da curva

RKA14C Estime f'(5). Aqui nós temos o gráfico de uma função em que y = f(x). O que esse exemplo está nos pedindo é para fazer uma estimativa da derivada dessa função nesse ponto x = 5. Bem, antes de fazer essa estimativa, a gente precisa relembrar o que é uma derivada. Tecnicamente, a gente pode dizer que a derivada indica a inclinação da reta tangente em um ponto, neste caso aqui, no ponto x = 5. Então, podemos até escrever isso aqui. A derivada indica o quê? A inclinação da reta tangente em x = 5 neste caso aqui. Só que, além de a derivada indicar a inclinação da reta tangente, ela também indica para a gente a taxa de variação da função, que, neste caso é y, em relação a x. Então, podemos também dizer que a derivada indica a taxa de variação de y em relação a x. Para esta função, obviamente. Então, a derivada pode indicar estas duas coisas: a inclinação da reta tangente em x = 5, e também a taxa de variação de y em relação a x para essa função. O que nós queremos aqui é determinar a derivada para essa função... Determinar não, estimar a derivada para essa função nesse ponto x = 5. Então, vamos partir daqui, deste ponto, em que a derivada indica a inclinação da reta tangente nesse ponto. Se a gente traçar aqui uma reta tangente... Se a gente traçar aqui uma reta tangente a esse ponto, a gente vai encontrar algo mais ou menos parecido com isto aqui. Essa reta tangente está passando aqui neste ponto desta forma. Como então a gente consegue determinar a inclinação dessa reta tangente? Utilizando esta ideia aqui, que a derivada indica a taxa de variação de y em relação a x. A gente pode observar essa reta tangente, por exemplo, e ver o quanto o y vai variar à medida que a gente altera o x. Então, por exemplo, se a gente fizer uma variação aqui em relação a x, a gente vai ter um Δx = 1. A gente vai observar a variação que ocorreu daqui até aqui no eixo y. Então, a gente vai ter um Δy aqui. Qual vai ser a nossa variação no eixo y? Bem, vai ser: 1, 2. Então, vai ser igual a 2. Se a gente quer calcular a taxa de variação de y em relação a x, basta dividir o Δy com o Δx. Assim, a gente vai encontrar a taxa de variação de y em relação a x. Δy = 2, então, a gente vai ter 2 dividido por Δx, que é igual a 1. 2 dividido por 1 = 2. Então, o 2 indica para a gente a inclinação da reta tangente nesse ponto x = 5, e também indica a taxa de variação de y em relação a x. A resposta certa seria o 2, ok? Bem, essa foi uma boa estimativa, mas vamos observar os outros aqui para ter certeza que essa é uma boa alternativa para a gente. Para a gente encontrar uma derivada tendo como resposta o -2, a gente teria que ter uma inclinação negativa, e não positiva. Seria uma inclinação deste lado aqui. Se a gente calculasse a inclinação da reta tangente nesse ponto x = -5, a gente encontraria uma inclinação negativa sendo igual a -2. Agora, se a gente quisesse uma inclinação igual a 0,1, essa inclinação seria muito pequena. Seria algo muito próximo de zero. Seria uma inclinação muito pequenininha mesmo. Por outro lado, para uma inclinação sendo igual a -0,1, a gente teria quase a mesma coisa, mas aqui do outro lado, como uma inclinação negativa. É quase horizontal, mas chega a ser um pouco inclinado. Se a gente quisesse uma derivada sendo igual a zero, teria que encontrar um ponto em que a inclinação da reta tangente fosse igual a zero. Ou seja, uma reta horizontal, e isto seria aqui no x = 0, porque, nesse ponto, a gente teria uma reta horizontal. Ok? Então, todas essas outras não estão de acordo com a inclinação dessa reta, que é tangente a esse ponto x = 5. Vamos ver um outro exemplo agora. Compare a derivada da função em x = 4 com a derivada da função em x = 6. Então, a gente quer saber, por exemplo, se a derivada da função no ponto x = 4 é maior ou menor que a derivada da função no ponto x = 6. Novamente, a gente pode fazer isso se aproveitando da ideia da derivada indicar a inclinação da reta tangente em um ponto, e também utilizar a ideia da variação de y em relação a x. Vamos lá! A primeira coisa que nós podemos fazer aqui é representar a reta tangente que passa nesse ponto. Então, seria mais ou menos isto aqui. Estaria mais ou menos passando por aqui. Então, esta aqui seria a reta tangente passando nesse ponto. Se a gente quiser determinar novamente a inclinação dessa reta tangente, a gente consegue por meio da taxa de variação de y em relação a x. Se você observar daqui até aqui, a gente vai ter uma variação no eixo x sendo igual a 1, e aqui uma variação no eixo y sendo igual a -1. A gente vai ter -1 dividido por 1. Então, g'(x) no ponto x = 4 vai ser aproximadamente igual a -1. Agora a gente também pode pegar e traçar a reta tangente a esse ponto x = 6. Então, a gente traça mais ou menos deste jeito aqui. Claro, isto aqui é apenas uma aproximação. Mas é mais ou menos aqui, desta forma, que está a reta tangente a esse ponto. A gente pode fazer a mesma coisa que a gente fez antes. Então, a gente traça aqui a variação no eixo x, que foi igual a 1. E aqui a gente vê a variação que ocorreu no eixo y, que, neste caso aqui, foi igual a -3. Então, a derivada da função g'(x) nesse ponto x = 6 vai ser igual à variação do eixo y, que foi igual -3 dividida pela variação do eixo x, que foi igual a 1. Então, a derivada vai ser aproximadamente igual a -3. Se você observar, a gente tem um valor aqui maior que esse, certo? Então, a derivada de g'(x) nesse ponto x = 4, é maior que a derivada dessa função no ponto x = 6. A resposta certa seria esta aqui, a maior. Obviamente que você poderia fazer isso de forma intuitiva também. Não precisaria fazer isto aqui. Se você observar aqui, deste lado, que é a mesma coisa que deste lado aqui, inicialmente, a gente começa com uma inclinação sendo igual a zero, aqui em cima. A gente tem uma reta tangente horizontal. À medida que o x avança, essa reta vai ficando cada vez mais inclinada no sentido do y negativo. Ou seja, a inclinação está ficando cada vez menor, cada vez mais negativa, até chegar a este ponto aqui. Mas, à medida que a gente passa pelo y = 0, ela vai se tornar cada vez menos negativa, até passar neste outro ponto, em que a reta tangente tem uma inclinação igual a 0. Depois, vai se tornar cada vez menos negativa, ou seja, a inclinação vai aumentando. Mas, como a gente tem aqui dois pontos acima do y = 0, neste caso, daqui até aqui, a gente vai ter uma inclinação ficando cada vez menor até chegar aqui no y = 0. Então, como a inclinação vai ficando cada vez menor, a inclinação aqui, neste ponto x = 4, é maior do que a inclinação neste ponto x = 6.